Задания | Результаты | Решения (doc-файл)
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов 1.1. Положительные числа а и b таковы, что а2 + b = b2 + a. Верно ли, что а = b? 1.2. В треугольнике АВС проведены высоты АP и СN, которые пересекаются в точке H, лежащей внутри треугольника. Может ли угол АHС оказаться острым? 1.3.
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов
).2.1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза. В результате, на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?
2.2.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СK, пересекающиеся в точке О. Может ли угол АОС оказаться острым?2.3.
Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр больше суммы цифр его квадрата?Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов
).3.1. Говядина без костей стоит 90 рублей за килограмм, говядина с костями – 78 рублей за килограмм, а кости без говядины – 15 рублей за килограмм. Сколько костей в килограмме говядины?
3.2.
Покажите, как разрезать прямоугольник 1х5 на пять частей и сложить из них квадрат.3.3.
Дан бесконечный ряд чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... . Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2003 – ем месте.Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов
).4.1. Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься стоя на этом эскалаторе неподвижно?
4.2.
Даны точки А, В, С и D так, что отрезки АС и BD пересекаются в точке Е. Отрезок АЕ на 1 см короче, чем отрезок АВ, АЕ = DC, AD = BE, угол ADC равен углу DEC. Найдите длину ЕС.4.3.
Шахматный турнир проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграв одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Успели ли они сыграть между собой, если всего в турнире было сыграно 23 партии?Команда 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 Сумма Диплом =========================================================================== 2 А 1 6 6 7 7 0 7 7 7 8 8 2 66 I Раменское 0 0 5 7 7 7 7 7 7 8 8 2 65 I 1101А 0 3 6 7 7 0 7 0 7 8 8 2 55 II 1543Б 0 6 6 0 7 7 0 0 7 8 8 0 49 II 2 Б 0 6 6 1 7 7 0 0 6 8 3 3 47 III --------------------------------------------------------------------------- 1514А 4 6 6 3 0 0 0 7 7 8 0 6 47 III 1543В 1 6 6 3 4 0 0 0 7 8 8 4 47 III 82 Черногол. 0 6 6 7 7 0 0 7 2 0 8 1 44 III 2 Г 0 6 6 3 7 0 0 7 2 0 8 0 39 ПГ 1018В 0 0 2 6 7 7 0 0 6 1 8 1 38 ПГ --------------------------------------------------------------------------- Сборная ЮЗ 0 0 0 7 7 7 0 0 7 8 0 0 36 ПГ 1514Б 0 6 4 7 0 0 0 0 2 8 8 0 35 ПГ 7Б 0 6 2 0 1 0 0 7 2 4 8 0 30 16 Мытищи 0 6 6 6 1 0 0 0 2 0 8 0 29 1018А 0 6 6 7 0 0 0 0 2 8 0 0 29 --------------------------------------------------------------------------- 1741А 0 0 6 3 0 0 0 0 4 8 8 0 29 1543Г 0 0 4 7 0 0 0 0 2 8 7 0 28 Хорошево 0 0 6 6 1 7 0 0 7 0 0 1 28 6А Мытищи 0 1 6 7 0 0 0 0 7 0 4 0 25 7А 0 6 0 0 7 0 0 0 2 1 8 0 24 --------------------------------------------------------------------------- 1543А 1 6 6 7 -1 0 0 0 4 -1 0 0 22 1741Б 4 1 0 0 6 0 1 0 2 8 0 0 22 1018Б 0 0 5 7 0 0 0 0 6 0 0 3 21 1101В 0 3 6 6 0 0 0 0 2 0 4 0 21 654А 0 0 6 3 0 0 0 0 2 1 8 0 20 --------------------------------------------------------------------------- 1101Г 1 6 3 0 0 7 0 0 2 0 0 0 19 654Б 0 0 1 0 7 7 0 0 2 0 0 0 17 Протвино 0 1 6 7 1 0 0 0 2 0 0 0 17 1543Д 0 0 4 7 3 0 0 0 2 0 -1 0 15 1965 0 5 0 6 1 0 0 0 2 0 0 0 14 --------------------------------------------------------------------------- 1101Б 1 0 0 7 0 0 0 0 2 0 3 0 13 1514В 1 0 5 0 0 0 0 0 0 0 7 0 13 1971Б 0 0 6 0 -1 0 0 0 7 0 0 0 12 6Б Мытищи 0 0 0 6 -1 0 0 0 2 1 0 0 8 1971В 0 0 2 3 1 -1 0 0 2 0 0 0 7 --------------------------------------------------------------------------- 109 А 0 0 0 3 1 0 0 0 2 0 0 0 6 1971А 0 0 0 3 -1 0 0 0 2 0 0 0 4 109 Б 0 0 1 0 -1 0 1 0 2 0 0 0 3
Команда 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 Сумма Диплом =========================================================================== 5Б 6 6 3 7 7 0 7 0 5 3 8 3 55 I 1189Б 0 0 6 7 7 0 0 7 3 8 8 5 51 I 444А 0 6 6 2 4 7 0 0 5 3 8 0 41 II 218А 0 6 6 7 1 0 0 0 2 8 8 0 38 II 5А 0 6 6 7 7 0 0 7 2 0 0 0 35 III --------------------------------------------------------------------------- 1189В 6 5 6 0 1 0 0 7 7 3 0 0 35 III 11А 0 4 4 7 6 0 0 7 2 0 4 0 34 III Квантик А 0 6 2 4 1 7 0 0 2 2 8 0 32 III 11Б 0 1 1 7 1 0 0 0 2 3 8 0 23 ПГ 1151 0 6 6 2 0 0 0 0 2 3 0 0 19 ПГ --------------------------------------------------------------------------- 152Б 0 1 5 2 1 0 0 7 2 0 0 0 18 ПГ 152А 0 0 0 1 2 0 0 7 2 0 5 0 17 444Б 0 1 6 0 0 0 0 0 0 8 2 0 17 1189Г 0 0 6 0 7 0 0 0 2 0 0 0 15 218Б 0 1 6 1 1 0 0 0 2 0 0 0 11 --------------------------------------------------------------------------- Трад. Гимн. Б 0 6 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 9 277А 0 0 1 5 0 0 0 0 2 0 0 0 8 1189А 0 0 0 3 0 0 0 0 2 3 0 0 8 Квантик Б 0 0 4 2 0 0 0 0 2 0 0 0 8 Сборная Север 0 1 3 0 4 0 0 0 0 0 0 0 8 --------------------------------------------------------------------------- 174 0 1 3 0 1 0 0 0 2 0 0 0 7 255 1 1 1 2 0 0 0 0 2 0 0 0 7 747 0 3 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 6 277Б 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 4 744 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2
