Математическая регата 10 классов 24.04.2004

1.1. Известно, что числа а + b + c и являются целыми. Верно ли, что число также является целым?

1.2. Есть четыре одинаковых кирпича размером . Объясните, как составить из них прямоугольный параллелепипед с наибольшей возможной длиной диагонали.

1.3. Найдите все натуральные значения n, при которых n⁵ + 2 делится на n + 2.

Второй тур (15 минут; каждая задача √ 7 баллов).

2.1. Решите уравнение: .

2.2. На шахматной доске построены векторы с началом в центре клетки С2 (см. рисунок) и концами в центрах всех остальных клеток. Найдите модуль суммы этих векторов, если сторона клетки доски равна 1.

2.3. Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число N, где 1 £ N £ 7, ему ни назвали, он сможет указать прямую, содержащую ровно N отмеченных точек. Прав ли он?

3.1. Последовательность чисел: 3; 7; 14; 24; ... такова, что разности соседних членов образуют арифметическую прогрессию. Найдите сотый член данной последовательности.

3.2. Диагонали трапеции АВСD (AD || BC) пересекаются в точке О. Докажите, что окружности, описанные около треугольников АОD и ВОС, касаются друг друга.

3.3. У Васи есть набор из 24 карандашей различных цветов. Он хочет раскрасить некоторое количество кругов по следующему правилу: каждый круг красится в три различных цвета, любое сочетание из двух цветов используется ровно один раз (то есть, если в каком-то круге встретились, например, красный и синий цвета, то ни в каком другом круге такое сочетание цветов невозможно) и каждое сочетание двух цветов должно быть использовано. Сможет ли он это сделать?

4.1. Решите уравнение: .

4.2. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что равны радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ABD, ACD и BCD. Докажите, что АС = BD.

4.3. Каждое из первых 2004 простых чисел возвели в степень, равную этому числу. Затем перемножили полученные числа и прибавили единицу. Является ли полученное число точным квадратом?

5.1. Известно, что x, y и z √ положительные числа, произведение которых равно 0,5. Докажите, что .

5.2. М √ внутренняя точка отрезка АВ, длина которого 11 см. Рассматриваются всевозможные треугольники АВС. Найдите наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников САМ и СВМ.

5.3. На шахматной доске стоят десять белых фигур. Докажите, что можно поставить на эту доску черного коня так, чтобы он не нападал ни на одну из этих фигур.