Математическая регата 11 классов 20.12.2003

1.1. Числа x и y таковы, что . Найдите значение выражения .

1.2. Боковые рёбра четырехугольной пирамиды имеют длины 1, 6 и 11. Может ли основание этой пирамиды быть квадратом?

1.3. На шахматной доске отмечены центры всех клеток. Рассмотрим все векторы, начало которых в центре черной клетки, а конец √ в центре белой клетки. Докажите, что сумма этих векторов равна нулевому вектору.

2.1. Пусть f(x) √ некоторая функция, определенная на всей числовой прямой. Известно, что функция f(f(x)) √ непрерывная. Верно ли, что функция f(x) √ непрерывная?

2.2. ABCD √ ромб. Радиус окружности, описанной около треугольника АВC, равен 3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BDC, равен 4 см. Найдите периметр ромба.

2.3. Найдите все натуральные значения n, для которых выполняется равенство: n³ √ n = n!

3.1. Решите уравнение: .

3.2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и BС взяты точки К и L так, что АК = BL. Докажите, что .

3.3. Решая числовой ребус ДВА + ТРИ = ПЯТЬ, Вася получил 150 возможных ответов. Верно ли, что Вася нашел все решения ребуса?

4.1. Найдите значение выражения: (1 + tg1° )× (1 + tg2° )× ...× (1 + tg44° ).

4.2. По горизонтальной прямой s произвольным образом ╓катаются╞ две окружности, радиусы которых r и R. К ним проведены две общие внутренние касательные, пересекающиеся в точке M. По какой траектории движется точка M?

4.3. На столе лежат три кучки камней, в одной из которых 5 камней, в другой √ 49, а в третьей √ 51. Разрешается делать две операции: 1) складывать любые две кучки камней в одну; 2) любую кучку с четным количеством камней делить на две равные кучки. Можно ли, выполняя только эти операции, разложить камни на кучки по одному?

5.1. Известно, что для чисел а, b и с выполняются равенства: а³ √ b³ √ c³ = 3abc и а² = 2(b + c). Найдите число а.

5.2. Площадь ортогональной проекции некоторого параллелепипеда на плоскость одной из его граней в два раза больше площади этой грани, площадь его ортогональной проекции на плоскость другой грани в полтора раза больше площади этой грани, и наконец, площадь его проекции на плоскость третьей грани равна площади этой грани. Найдите плоские углы в гранях данного параллелепипеда.

5.3. На доске было записано 17 двузначных чисел. Математик выбрал одно из них и возвел его в сотую степень. Оказалось, что полученное число делится на каждое из оставшихся шестнадцати. Верно ли, что оно делится и на их произведение?