Математическая регата 11 классов 11.12.2004

1.1. Решите уравнение: 2^|x| - cosy + lg(1 + x² + |y|) = 0.

1.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, M, N и P - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Отрезки AM и CK пересекаются в точке E, а отрезки AN и CP - в точке F. Найдите площадь четырехугольника AECF, если площадь ABCD равна 12.

1.3.Пусть M - наименьшее из четырех чисел: a, b, c и 1 - а - b - c. Найдите наибольшее значение M.

2.1.Найдите все значения k и b такие, что система уравнений y=kx+b; |x+2|+|y-2|=4 имеет бесконечное множество решений.

2.2. Существует ли невыпуклый многогранник, имеющий ровно пять вершин?

2.3. Докажите, что если числа m и m² + 2 – простые, то и число m³ + 2 – также простое.

3.1. Докажите, что существуют различные действительные числа x, y и z такие, что x³ – 3x² = y³ – 3y² = z³ – 3z². Найдите все значения, которые может принимать сумма x + y + z таких чисел.

3.2. АМ – биссектриса равнобедренного треугольника АВС с основанием АС. Докажите, что если Ð В = 100° , то АМ + ВМ = АС.

3.3. Можно ли из каких-нибудь девяти выпуклых шестиугольников составить какой-нибудь выпуклый тридцатидевятиугольник?

4.1. Решите уравнение: .

4.2. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде проведено сечение через диагонали оснований, а также сечение, проходящее через ребро нижнего основания и противолежащее ребро верхнего основания. Найдите угол между секущими плоскостями, если площади данных сечений равны.

4.3. На каждой половинке кости домино указано число очков – от 0 до некоторого N, большего 1. Все возможные пары чисел встречаются по одному разу (включая «дубли» – пары одинаковых чисел). Все кости домино выложены в цепочку, причем на прилегающих половинках соседних костей стоят одинаковые числа. Могут ли на концах цепочки стоять различные числа?

5.1. Известно, что 9x² +16y² + 144z² = 169. Найдите наибольшее возможное значение выражения 6x – 4y + 24z.

5.2. Одна окружность проходит через вершины A и C прямоугольника ABCD, другая – через вершины B и D. Докажите, что их общая хорда проходит через центр прямоугольника.

5.3. Количество пользователей интернета росло в течение всего года. При этом на четыре разных квартала (в каком-то порядке) пришлись: наибольший абсолютный прирост, наименьший абсолютный прирост, наибольший относительный прирост и наименьший относительный прирост. (Абсолютный прирост – разность между новым и старым значением величины. Относительный прирост – это абсолютный прирост, делённый на старое значение.)
Известно, что наименьший относительный прирост был раньше, чем наибольший относительный. В каком квартале был наибольший абсолютный прирост?