Математическая регата 10 классов 21.04.2007

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Решите неравенство: (x – 1)(x² – 1)(x³ – 1)× ...× (x²⁰⁰⁷ – 1) £ 0.

1.2. Верно ли, что угол между прямой а и плоскостью a равен углу между прямой b и плоскостью b , если a^ b и a ^ b ?

1.3. На гранях кубика произвольным образом записали натуральные числа от 1 до 6. Затем на каждом ребре кубика записали сумму чисел, стоящих в гранях, содержащих это ребро. Оказалось, что на трех ребрах записано одинаковое число. Какое?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Вася записал на доске величины двух углов a и b . Сможет ли Петя поставить перед каждым из них либо знак sin², либо знак cos² так, чтобы значение суммы этих квадратов было не меньше, чем 1?

2.2. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади S проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

2.3. Найдите все тройки различных натуральных чисел, в которых сумма любых двух чисел делится на третье, и при этом каждые два числа являются взаимно простыми.

3.2. Найдите геометрическое место середин отрезков данной длины, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся перпендикулярных прямых.

3.3. В десятичной записи натурального числа N, являющегося степенью двойки, зачеркнули первую цифру и получили число, которое также является степенью двойки. Сколько существует таких натуральных N?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Существуют ли рациональные числа x, y, u и v, для которых выполняется равенство:

4.2. Дан равнобедренный треугольник АВС с углом b при вершине В. В этой вершине расположен прожектор, который может освещать некоторый отрезок MN на основании АС (точка M лежит между А и N, точка N лежит между М и С). Известно, что при любом повороте прожектора из отрезков АМ, MN и NC можно составить треугольник. Каким может быть угол освещения MBN?

4.3. Вася и Петя заполняли клетчатый прямоугольник, в котором m строк и n столбцов (m > 1, n > 1) последовательными натуральными числами от 1 до mn. Сначала это сделал Вася, двигаясь сверху вниз по строкам и заполняя каждую строчку слева направо. Потом это сделал Петя, который двигался слева направо по столбцам, заполняя каждый столбец сверху вниз. Сколько оказалось клеток, в которых записаны два одинаковых числа?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Решите уравнение: .

5.2. Треугольник АВС вписан в окружность. Точка X – середина дуги АВ, не содержащей вершину С, а точка Y – середина дуги ВС, не содержащей вершину А. Прямая XY пересекает стороны треугольника в точках K и L. Точка I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что BKIL – ромб.

5.3. Два пловца, стартовав из разных точек с одного берега озера, стремятся доплыть до буйка, двигаясь прямолинейно по направлению к нему с постоянными скоростями. В 10 часов 35 минут расстояние между пловцами было 300 метров, в 10 ч 36 мин оно сократилось до 200 метров, а в 10 ч 37 мин стало равным 100 метров. Верно ли, что пловцы приплывут к буйку одновременно?