. Каким может быть третий угол этого треугольника?Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)
11 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов
1.1. Петя записал на доске величины двух углов a
и b . Верно ли, что, независимо от значений a и b , Вася сможет поставить перед одним из углов знак синуса, а перед другим – знак косинуса так, чтобы сумма синуса одного угла и косинуса другого была не больше, чем
?
1.2. Площади боковых граней треугольной призмы относятся как 5 : 4 : 2. Найдите наибольший из углов между этими гранями.
1.3. Каждая из клеток квадрата 5´ 5 покрашена в один из четырех цветов так, что в каждом квадрате 2´ 2 присутствуют все четыре цвета. Какое наибольшее количество клеток одного цвета может быть в данном квадрате?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов
).2.1. Укажите множество точек (x; y)
координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
.
2.2. В остроугольном треугольнике АВС из основания высоты опущены перпендикуляры DM
и DN на стороны АВ и ВС. Найдите угол АВС, если MN = m; BD = h.2.3. Найдите наибольший общий делитель всех чисел, имеющих вид: 11n – 6n – 5n, где n – натуральное число, отличное от 1.
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов
).3.1. Известно, что для двух острых углов треугольника выполняется равенство: . Каким может быть третий угол этого треугольника?
3.2. Точки P
и Q лежат на сторонах квадрата АВСD, причем BP = BQ. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на РС. Докажите, что угол DHQ – прямой.3.3.
В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Ровно треть команд хотя бы раз сыграли вничью, а ровно 75% остальных команд не обошлись без поражений. Сколько результативных матчей было сыграно в турнире?Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов
).4.1. При каких значениях а неравенство 
имеет ровно четыре целых решения?
4.2. Окружность S1
касается сторон угла АВС в точках А и С. Окружность S2 касается прямой АС в точке С и проходит через точку В. М – вторая точка пересечения окружностей S1 и S2. В каком отношении прямая АМ делит отрезок ВС?4.3. Найдите два различных натуральных числа, сумма квадратов которых является кубом, а сумма кубов – квадратом.
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов
).5.1.
При каких значениях параметра а уравнение
имеет ровно 2006 корней?
5.2. Внутри куска сыра, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, есть одна дырка шарообразной формы. Можно ли провести плоский разрез, параллельно одному из ребер, чтобы сыр разрезался на два куска одинакового объема? (Предполагается, что «местонахождение» дырки нам известно.)
5.3. Все натуральные числа раскрашены в два цвета: синий и красный так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что найдется число, которое является одновременно суммой двух синих чисел и суммой двух красных чисел.
|
I тур |
II тур |
III тур |
IV тур |
V тур |
Сумма |
Диплом |
|||||||||||
|
Команда |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
||
|
57 А |
6 |
5 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
8 |
8 |
2 |
0 |
9 |
6 |
7 |
7 |
85 |
I |
|
1543 А |
6 |
2 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
7 |
74 |
II |
|
57 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
6 |
7 |
8 |
0 |
0 |
9 |
1 |
0 |
0 |
7 |
7 |
70 |
II |
|
2 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
6 |
8 |
2 |
0 |
0 |
0 |
7 |
3 |
65 |
II |
|
1537 |
0 |
0 |
5 |
7 |
1 |
7 |
0 |
0 |
8 |
6 |
0 |
9 |
0 |
7 |
0 |
50 |
III |
|
2 В |
0 |
2 |
6 |
0 |
5 |
0 |
0 |
8 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
44 |
III |
|
Квантик |
0 |
6 |
3 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
7 |
41 |
III |
|
1189 Б |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
2 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
6 |
39 |
III |
|
1534 |
0 |
5 |
6 |
7 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
37 |
III |
|
2 Д |
0 |
6 |
6 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
7 |
0 |
34 |
ПП |
|
1511 А |
6 |
5 |
6 |
0 |
2 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
33 |
ПП |
|
1511 Б |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
7 |
1 |
0 |
4 |
2 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
31 |
ПП |
|
2 Б |
0 |
0 |
6 |
0 |
7 |
1 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
30 |
ПП |
|
2007 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
8 |
2 |
0 |
0 |
6 |
7 |
0 |
30 |
ПП |
|
654 |
0 |
5 |
3 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
8 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
29 |
ПП |
|
1189 А |
0 |
2 |
2 |
7 |
0 |
0 |
7 |
2 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
29 |
ПП |
|
2 Г |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
0 |
1 |
8 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
3 |
27 |
|
|
218 А |
1 |
6 |
2 |
0 |
0 |
2 |
8 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
27 |
|
|
444 А |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
2 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
27 |
|
|
1543 В |
2 |
0 |
5 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
27 |
|
|
Переславль |
6 |
0 |
6 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
22 |
|
|
7 А |
6 |
2 |
2 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
21 |
|
|
2007 Г |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
2 |
0 |
2 |
8 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
21 |
|
|
91 Б |
0 |
0 |
3 |
7 |
2 |
3 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
18 |
|
|
366 А С-Пб |
1 |
4 |
3 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
18 |
|
|
1134 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
18 |
|
|
1514 А |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
18 |
|
|
366 Б С-Пб |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
7 |
0 |
17 |
|
|
2007 А |
0 |
2 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
|
|
1101 А |
6 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
14 |
|
|
1524 |
0 |
0 |
6 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
||
|
7 Б |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
13 |
|
|
174 |
0 |
2 |
6 |
0 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
|
91 А |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
|
Фрязино А |
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
10 |
|
|
Фрязино Б |
0 |
0 |
2 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
|
618 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
9 |
|
|
1189 В |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
|
315 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
353 Б |
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
||
|
353 А |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
1101 Б |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
1528 Б |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
618 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
1528 А |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
||
