Математическая регата 7 классов 3.03.2007

1.1. Вычислите: 2007× 200820082008 – 2008× 200720072007.

1.2. Какое наибольшее количество лучей на плоскости может выходить из одной точки, чтобы каждый угол, образованный двумя соседними лучами, был тупым? (Дайте ответ и объясните, почему больше лучей выходить не может.)

1.3. Коля написал на карточках натуральные числа 1, 10, 10², ..., 10¹⁰⁰. Затем часть карточек он положил в правый карман, часть - в левый, а остальные выбросил (но не все). Может ли сумма чисел в правом кармане оказаться равной сумме чисел в левом кармане? Объясните ответ.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Гвоздь, три винта и два шурупа вместе весят 24 грамма; два гвоздя, четыре шурупа и пять винтов вместе весят 44 грамма. Сколько весят вместе три гвоздя, четыре винта и шесть шурупов?

2.2. Три наследника разделили квадратный садовый участок со стороной 60 метров на три прямоугольные части равной площади. При этом каждые два наследника стали соседями. Какова общая длина забора, построенного внутри участка для отделения трех частей друг от друга?

2.3. Известно, что 35! = 10333147966386144929а66651337523200000000. Восстановите цифру а и объясните. (Напомним, что n! = 1× 2× 3× ...× (n – 1) × n.)

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. Чайку кормят с плывущего катера. Вниз бросают кусок хлеба, чайка за 3 секунды поднимает кусок с поверхности моря, а затем за 12 секунд догоняет катер. Войдя в залив, катер уменьшил скорость в два раза. Какое время теперь потребуется чайке, чтобы догнать катер, после того как она поднимет кусок хлеба?

3.2. В остроугольном треугольнике АВС медиана АМ равна высоте BH, причем равны углы МАВ и НВА. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

3.3. В шахматном турнире играли пять человек. Каждый из них сыграл с каждым по одному разу. Победитель партии получал 1 очко, проигравший – 0 очков, а если партия заканчивалась вничью, то каждый получал по 0,5 очка. Известно, что половина партий турнира закончилась вничью, а игрок, занявший последнее место, проиграл все партии. Какое место занял игрок, набравший 3 очка?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Числа а, b и с таковы, что выражения , и принимают одинаковое значение. Какое?

4.2. Каждый из трех равных разносторонних треугольников разрезали по медиане, проводя эти медианы к различным сторонам. Всегда ли из получившихся шести треугольников можно составить (без "просветов" и "наложений") новый треугольник? Обоснуйте.

4.3. Сколькими способами можно заполнить таблицу 5´ 5 клеток нулями и единицами так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была четной?