Математическая регата 8 классов 19.05.2007

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Докажите, что для любых x и y выполняется неравенство: x² – xy + y² + x – y + 1 > xy.

1.2. Существует ли трапеция, в которой разность длин боковых сторон больше, чем разность длин оснований?

1.3. Две команды разыграли первенство по десяти видам спорта. За победу в каждом из видов команда получала четыре очка, за ничью – два очка и за поражение – одно. Сумма очков, набранных обеими командами, оказалась равна 46. Сколько было ничьих?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. С дробями разрешается делать две операции: 1) числитель увеличивать на 8, 2) знаменатель увеличивать на 7. Выполнив n указанных операций в произвольном порядке, из дроби получили дробь, ей равную. При каком наименьшем значении n это возможно?

2.2. В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности оказался равноудален от вершины прямого угла и середины гипотенузы. Найдите острые углы этого треугольника.

2.3. В клетках таблицы 11´ 11 расставлены плюсы и минусы. Известно, что в каждой из 11 строк плюсов больше, чем минусов. Докажите, что хотя бы в двух столбцах плюсов также больше, чем минусов.

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. В кинофильме «Самогонщики» три друга гонят самогон. У Труса течёт жидкость крепостью a% и стандартная бутыль наполняется за а часов, у Балбеса течёт жидкость крепостью b% и такая же бутыль наполняется за b часов, а у Бывалого – с% и за с часов соответственно. Для ускорения процесса друзья направили трубки аппаратов в одну бутыль и наполнили её за сутки. Найдите крепость получившейся смеси. (Крепость жидкости – это процент содержания в ней спирта).