Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)
9 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов
1.1.Найдите все значения x, для которых .
1.2.В треугольник АВС с прямым углом С и углом В, равным 30°, вписана окружность радиуса 1. Найдите расстояние от вершины А до точки касания окружности со стороной ВС.
1.3.Сколько натуральных чисел вида 3n + 1, где n– натуральное число, являются точными квадратами?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов
).2.1. Найдите все такие а и b, что уравнения x2 + ax + b2 = 0 и x2 + bx + a2 = 0 имеют общий корень.
2.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD Ð А = 60° , Ð B = 150° , Ð C = 45° и АВ = ВС. Докажите, что треугольник АВD – равносторонний.
2.3. Найдите наименьшее натуральное число n
такое, что 2n является квадратом натурального числа, а 3n – кубом.Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов
).3.1.
Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был в 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?3.2.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и ВЕ. Оказалось, что DE – биссектриса треугольника ADC. Найдите угол ВАС.3.3.
На острове есть сеть железнодорожных линий, по которой можно проехать с любой станции на любую. Известно, что среди всех станций есть ровно 20 узловых (в каждую из которых сходятся не менее трех линий) и ровно 21 тупиковая. Докажите, что в сети есть кольцевая линия.Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов
).4.1. Положительные числа x, y
и z удовлетворяют неравенству x2 + y2 + z2 £ 3. Докажите, что .4.2.
Вася вырезал из бумаги выпуклый четырехугольник c перпендикулярными диагоналями, у которого длины последовательных сторон равны а, b, c и d. Петя тоже вырезал выпуклый четырехугольник с такими же длинами последовательных сторон. Могут ли диагонали Петиного четырехугольника оказаться не перпендикулярными?4.3.
Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существуют две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково наименьшее количество хороших пар?Пятый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов
).5.1.
Известно, что . Какие значения может принимать выражение (a + b)(b + c)(c + a)?5.2. Сумма расстояний между серединами противолежащих сторон четырехугольника равна его полупериметру. Верно ли, что этот четырехугольник – параллелограмм?
5.3. Набор из 100 чисел таков, что ровно 2006 попарных произведений отрицательны. Сколько нулей в этом наборе?
I тур |
II тур |
III тур |
IV тур |
V тур |
Сумма |
Диплом |
|||||||||||
Команда |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
||
1 5 4 3 Г |
6 |
6 |
6 |
0 |
3 |
0 |
8 |
0 |
8 |
0 |
9 |
7 |
0 |
0 |
7 |
60 |
I |
1 9 2 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
8 |
0 |
7 |
9 |
0 |
9 |
0 |
0 |
3 |
44 |
II |
Большая перемена |
6 |
6 |
1 |
5 |
0 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
43 |
II |
57 |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
8 |
8 |
8 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
42 |
II |
Жуковский |
6 |
3 |
6 |
0 |
-1 |
7 |
0 |
0 |
0 |
9 |
4 |
0 |
0 |
7 |
0 |
41 |
II |
17 А |
6 |
6 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
38 |
III |
2 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
8 |
0 |
3 |
8 |
3 |
0 |
0 |
7 |
37 |
III |
2В |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
7 |
5 |
7 |
9 |
0 |
0 |
36 |
III |
|
1434 |
0 |
6 |
6 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
0 |
0 |
36 |
III |
||
2007 А |
0 |
0 |
1 |
5 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
7 |
34 |
III |
2 Б |
6 |
1 |
1 |
3 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
33 |
III |
1537 А |
6 |
4 |
1 |
5 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
30 |
ПП |
1537 В |
6 |
3 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
29 |
ПП |
Интеллектуал Б |
6 |
0 |
5 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
7 |
29 |
ПП |
3 6 6 Б СПб |
2 |
0 |
6 |
0 |
0 |
5 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
28 |
ПП |
2Ж |
6 |
6 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
27 |
ПП |
654 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
27 |
ПП |
1 5 4 3 Б |
0 |
4 |
6 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
24 |
ПП |
2007 Д |
6 |
0 |
1 |
0 |
2 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
0 |
24 |
ПП |
Квантик |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
7 |
24 |
ПП |
2 1 8 А |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
23 |
ПП |
1514 В |
0 |
4 |
0 |
5 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
23 |
ПП |
32 Кострома |
0 |
0 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
22 |
ПП |
|
3 6 6 А СПб |
5 |
4 |
1 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
22 |
ПП |
179 Б |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
20 |
|
1514 Б |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
18 |
|
1 5 4 3 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
7 |
18 |
|
2007 Б |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
91 Б |
6 |
6 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
15 |
|
1189 Б |
6 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
|
1189 Д |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
15 |
|
1576 А |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
15 |
|
2007 В |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
15 |
|
4А Дзержинский |
6 |
0 |
1 |
5 |
-1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
||
82А Черноголовка |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
14 |
|
1189 А |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
14 |
|
1514 Г |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
14 |
|
2 1 8 Б |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
11 |
|
3 4 5 А |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
10 |
|
1189 Г |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
10 |
|
1 5 4 3 В |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
2007 Е |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
7 |
0 |
0 |
10 |
||
5А Долгопрудный |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
1537 Б |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
Троицк А |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
2 Л |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
4Б Дзержинский |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
17 Б |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
||
179 А |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
1 9 2 В |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
МЭШ Б |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
1 5 6 8 Б |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
8 |
|
1189 В |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
Интеграция XXI |
0 |
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
1303 |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
82Б Черноголовка |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
6 |
|
3 4 5 Б |
6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
1 5 4 3 Д |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
1 5 6 8 А |
6 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
2 И |
6 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
1554 Б |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
1 9 2 Б |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
1511А |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
1 и 2 Фрязино |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
Троицк Б |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
4 |
|
5Б Долгопрудный |
0 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|||
1554 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
2007 Г |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
2 К |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
91 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
152 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
МЭШ А |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Ногинск |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Переславль |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
91 В |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1514 А |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1576 Б |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
1981 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |