Математическая регата 9 классов 14.10.2006

1.1.Найдите все значения x, для которых .

1.2.В треугольник АВС с прямым углом С и углом В, равным 30°, вписана окружность радиуса 1. Найдите расстояние от вершины А до точки касания окружности со стороной ВС.

1.3.Сколько натуральных чисел вида 3ⁿ + 1, где n– натуральное число, являются точными квадратами?

2.1. Найдите все такие а и b, что уравнения x² + ax + b² = 0 и x² + bx + a² = 0 имеют общий корень.

2.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD Ð А = 60° , Ð B = 150° , Ð C = 45° и АВ = ВС. Докажите, что треугольник АВD – равносторонний.

2.3. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что 2n является квадратом натурального числа, а 3n – кубом.

4.1. Положительные числа x, y и z удовлетворяют неравенству x² + y² + z² £ 3. Докажите, что .

4.2. Вася вырезал из бумаги выпуклый четырехугольник c перпендикулярными диагоналями, у которого длины последовательных сторон равны а, b, c и d. Петя тоже вырезал выпуклый четырехугольник с такими же длинами последовательных сторон. Могут ли диагонали Петиного четырехугольника оказаться не перпендикулярными?

4.3. Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существуют две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково наименьшее количество хороших пар?

Пятый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

5.1. Известно, что . Какие значения может принимать выражение (a + b)(b + c)(c + a)?

5.2. Сумма расстояний между серединами противолежащих сторон четырехугольника равна его полупериметру. Верно ли, что этот четырехугольник – параллелограмм?

5.3. Набор из 100 чисел таков, что ровно 2006 попарных произведений отрицательны. Сколько нулей в этом наборе?