Математическая регата 9 классов 14.10.2006

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

9 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1.Найдите все значения x, для которых .

1.2.В треугольник АВС с прямым углом С и углом В, равным 30°, вписана окружность радиуса 1. Найдите расстояние от вершины А до точки касания окружности со стороной ВС.

1.3.Сколько натуральных чисел вида 3n + 1, где n– натуральное число, являются точными квадратами?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Найдите все такие а и b, что уравнения x2 + ax + b2 = 0 и x2 + bx + a2 = 0 имеют общий корень.

2.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD Ð А = 60° , Ð B = 150° , Ð C = 45° и АВ = ВС. Докажите, что треугольник АВD – равносторонний.

2.3. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что 2n является квадратом натурального числа, а 3nкубом.

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был в 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?

3.2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и ВЕ. Оказалось, что DEбиссектриса треугольника ADC. Найдите угол ВАС.

3.3. На острове есть сеть железнодорожных линий, по которой можно проехать с любой станции на любую. Известно, что среди всех станций есть ровно 20 узловых (в каждую из которых сходятся не менее трех линий) и ровно 21 тупиковая. Докажите, что в сети есть кольцевая линия.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Положительные числа x, y и z удовлетворяют неравенству x2 + y2 + z2 £ 3. Докажите, что .

4.2. Вася вырезал из бумаги выпуклый четырехугольник c перпендикулярными диагоналями, у которого длины последовательных сторон равны а, b, c и d. Петя тоже вырезал выпуклый четырехугольник с такими же длинами последовательных сторон. Могут ли диагонали Петиного четырехугольника оказаться не перпендикулярными?

4.3. Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существуют две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково наименьшее количество хороших пар?

Пятый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

5.1. Известно, что . Какие значения может принимать выражение (a + b)(b + c)(c + a)?

5.2. Сумма расстояний между серединами противолежащих сторон четырехугольника равна его полупериметру. Верно ли, что этот четырехугольник – параллелограмм?

5.3. Набор из 100 чисел таков, что ровно 2006 попарных произведений отрицательны. Сколько нулей в этом наборе?

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

Команда

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 5 4 3 Г

6

6

6

0

3

0

8

0

8

0

9

7

0

0

7

60

I

1 9 2 А

0

0

1

0

0

7

8

0

7

9

0

9

0

0

3

44

II

Большая перемена

6

6

1

5

0

7

0

0

8

0

0

3

0

0

7

43

II

57

6

0

1

0

0

7

8

8

8

0

0

3

0

0

1

42

II

Жуковский

6

3

6

0

-1

7

0

0

0

9

4

0

0

7

0

41

II

17 А

6

6

1

0

0

7

0

0

8

0

0

3

0

0

7

38

III

2 А

0

0

1

0

0

7

0

8

0

3

8

3

0

0

7

37

III

0

0

1

0

0

7

0

0

7

5

7

9

0

0

36

III

1434

0

6

6

0

8

0

0

0

9

0

7

0

0

36

III

2007 А

0

0

1

5

0

7

0

0

0

0

0

7

7

0

7

34

III

2 Б

6

1

1

3

0

7

8

0

0

0

0

0

7

0

0

33

III

1537 А

6

4

1

5

0

7

0

0

0

0

0

0

7

0

0

30

ПП

1537 В

6

3

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

7

0

0

29

ПП

Интеллектуал Б

6

0

5

0

0

7

0

0

0

0

0

4

0

0

7

29

ПП

3 6 6 Б СПб

2

0

6

0

0

5

8

0

0

0

0

0

7

0

0

28

ПП

6

6

1

0

0

7

0

0

0

0

0

0

7

0

0

27

ПП

654

6

0

0

0

0

7

0

0

8

0

0

0

6

0

0

27

ПП

1 5 4 3 Б

0

4

6

0

0

5

0

0

1

0

8

0

0

0

0

24

ПП

2007 Д

6

0

1

0

2

7

0

0

0

0

0

0

7

1

0

24

ПП

Квантик

0

0

0

0

0

7

8

0

0

0

0

2

0

0

7

24

ПП

2 1 8 А

6

0

0

0

0

6

8

0

0

0

0

3

0

0

0

23

ПП

1514 В

0

4

0

5

0

7

0

0

0

0

0

7

0

0

0

23

ПП

32 Кострома

0

0

6

0

7

0

0

0

0

9

0

0

0

0

22

ПП

3 6 6 А СПб

5

4

1

5

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

22

ПП

179 Б

0

0

6

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

7

20

1514 Б

6

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

3

0

0

7

18

1 5 4 3 А

0

0

1

0

-1

0

8

0

0

0

0

3

0

0

7

18

2007 Б

6

0

1

0

0

0

1

0

0

5

0

3

0

0

0

16

91 Б

6

6

1

0

-1

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

15

1189 Б

6

2

0

0

0

0

8

0

0

0

-1

0

0

0

0

15

1189 Д

6

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

1

0

15

1576 А

6

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

7

0

0

15

2007 В

0

0

1

0

0

7

0

0

0

0

0

0

7

0

0

15

4А Дзержинский

6

0

1

5

-1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

14

82А Черноголовка

0

0

3

0

0

4

0

0

0

0

0

0

7

0

0

14

1189 А

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

14

1514 Г

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

14

2 1 8 Б

0

0

1

0

0

0

8

0

0

0

0

2

0

0

0

11

3 4 5 А

5

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

3

1

0

0

10

1189 Г

0

0

1

0

0

2

0

0

0

0

0

0

7

0

0

10

1 5 4 3 В

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

3

0

0

0

10

2007 Е

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

7

0

0

10

5А Долгопрудный

0

0

1

0

0

5

0

0

0

0

0

3

0

0

0

9

1537 Б

6

0

1

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

9

Троицк А

6

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

9

2 Л

0

0

1

0

-1

7

1

0

0

0

0

0

0

0

0

8

4Б Дзержинский

6

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

8

17 Б

0

0

1

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

8

179 А

6

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

8

1 9 2 В

0

0

1

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

МЭШ Б

0

0

1

0

0

5

0

0

0

0

0

2

0

0

0

8

1 5 6 8 Б

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

8

1189 В

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

3

0

0

0

7

Интеграция XXI

0

6

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1303

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

82Б Черноголовка

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

1

1

6

3 4 5 Б

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

6

1 5 4 3 Д

0

4

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

6

1 5 6 8 А

6

0

1

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

2 И

6

0

1

0

-1

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

5

1554 Б

0

4

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5

1 9 2 Б

0

4

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5

1511А

0

0

1

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

5

1 и 2 Фрязино

0

0

1

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

4

Троицк Б

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

4

5Б Долгопрудный

0

1

1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

1554 А

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2007 Г

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2 К

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

91 А

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

152

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

МЭШ А

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Ногинск

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Переславль

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

91 В

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1514 А

0

0

1

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1576 Б

0

0

1

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1981

0

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

Rambler's
Top100 Rambler's Top100