Математическая регата 10 классов 1.03.2008

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

10 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).

1.1. Известно, что . Докажите, что

1.2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его сумма катетов равна 12, а сумма косинусов острых углов равна.

1.3. Можно ли разрезать куб на пять треугольных пирамид?

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

2.1. Квадратный трехчлен f(x) = x2 + аx + b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0; 1], а другой – вне этого отрезка. Определите знак f(b).

2.2. На диагонали АС выпуклого четырехугольника АВСD выбрана точка О так, что OC = OD и РCОD = 90o. Известно также, что РAОB = 110o и точка О равноудалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырехугольника.

2.3. В верхнем углу таблицы 11ґ11 стоит число 1, а остальные клетки пусты. Сережа заполняет таблицу по следующему правилу: если в какой-то клетке стоит число x, то он ставит в любую соседнюю (по стороне) пустую клетку либо число 4x , либо число (x – 12), либо число (x + 3). Сможет ли он добиться того, чтобы сумма всех чисел таблицы стала равной нулю?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

3.1. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z), где x, y и z – положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

3.2. Главные диагонали шестиугольного сечения куба пересекаются в одной точке. Обязательно ли это сечение проходит через центр куба?

3.3. Найдите все натуральные числа, которые в 11 раз больше суммы своих цифр.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).

4.1. Известно, что для положительных чисел а, b и c выполняется неравенство: . Докажите, что .

4.2. Вершина С прямого угла треугольника АВС лежит внутри окружности с центром О и радиусом R, проходящей через концы гипотенузы АВ, СН – высота треугольника АВС. На прямой АВ взята точка K так, что = ОН. Найдите СK.

4.3. При каких натуральных значениях n числа nn + 1 и (2n)2n + 1 являются простыми одновременно?

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

5.1. Существует ли такая функция f(t), где tО [–1; 1], что для всех xО [0; p ] выполняется равенство f(cosx) = sinx?

5.2. Три высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке H, которая делит одну из высот пополам, а другую в отношении 2 : 1, считая от вершины. В каком отношении точка H делит третью высоту?

5.3. На дискотеку пришло некоторое количество мальчиков и девочек, всего – не более 40 человек. Каждая девочка бросила взгляд на каждого знакомого мальчика, а каждый мальчик бросил взгляд на каждую незнакомую ему девочку. Всего было брошено 117 взглядов. Сколько мальчиков могло быть на этой дискотеке?

Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

СУНЦ Б

6

6

6

7

0

7

8

8

6

9

9

6

4

7

7

96

I

Кострома+УГП

6

6

6

7

3

7

8

0

8

9

0

1

7

7

7

82

II

СУНЦ А

6

6

6

0

7

7

7

0

8

9

0

3

7

7

6

79

II

СУНЦ В

6

6

0

5

7

7

7

4

4

9

0

0

0

7

6

68

III

1 5 4 3 Г

6

6

6

0

0

7

7

4

8

9

0

0

0

5

7

65

III

1 5 2 5

6

6

6

0

0

7

0

0

8

9

0

1

7

7

7

64

III

2 Е

0

6

0

7

7

0

8

0

8

9

0

0

7

0

7

59

III

Интеграция

6

6

0

7

0

0

8

2

7

9

0

0

7

0

7

59

III

2 В

6

6

6

7

0

0

8

0

3

9

0

0

7

0

6

58

III

2 0 0 7 Б

6

6

6

5

7

0

0

4

8

9

0

0

0

0

6

57

III

2 А

6

6

0

0

0

0

7

7

8

0

9

0

7

0

5

55

ПП

1 5 4 3 Б

0

6

6

0

0

0

7

7

8

8

0

0

7

0

6

55

ПП

1 5 1 1 А

6

6

6

7

0

0

7

0

8

0

1

7

0

6

54

ПП

1 5 1 4 А

6

6

0

0

0

7

7

8

8

0

0

7

0

4

53

ПП

1 9 2 А

6

6

6

0

0

4

8

4

4

0

0

0

7

0

6

51

ПП

2 1 8 Б

6

6

6

0

0

0

7

0

8

9

0

1

7

0

0

50

ПП

3 1 5 А

6

5

6

0

0

7

4

7

0

0

0

7

0

7

49

ПП

1 1 9 9

0

6

6

7

0

7

8

8

0

0

0

0

0

7

49

ПП

1 3 0 3

0

6

6

7

0

0

7

0

4

9

0

1

3

0

6

49

ПП

1 5 4 3 А

6

6

6

0

7

0

0

4

2

9

0

1

5

0

0

46

ПП

Кострома_БП

3

6

6

0

0

0

7

0

5

0

0

1

7

7

0

42

ПП

2 0 0 7 В

6

6

6

0

0

0

0

0

0

9

0

0

7

7

0

41

ПП

1 5 4 3 В

6

6

6

0

0

0

0

0

8

0

0

0

7

0

7

40

ПП

5 Долгопрудный

0

6

0

7

0

7

0

0

8

0

0

1

7

0

0

36

1 7 9

6

6

6

0

3

0

0

0

0

0

0

0

7

7

0

35

3 6 6 А С-Пб

6

6

0

0

0

0

7

0

8

0

0

0

7

0

1

35

1 1 8 9 А

0

6

6

7

0

0

0

0

8

0

0

1

7

0

0

35

2 0 0 7 А

6

6

0

0

7

0

8

0

0

1

7

0

0

35

3 6 6 Б С-Пб

6

6

0

0

0

0

7

8

0

0

0

0

7

0

0

34

3 6 6 В С-Пб

6

6

6

0

0

0

7

0

6

0

0

1

0

0

0

32

9 1 Б

6

6

6

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

7

0

31

9 1 А

6

6

6

5

0

0

0

0

0

0

0

1

5

1

0

30

1 0 9

6

6

0

0

0

0

8

0

0

0

0

1

7

0

0

28

1 9 2 Б

6

6

0

0

0

0

0

0

8

0

1

0

0

0

7

28

2 Б

6

6

0

0

0

0

7

0

8

0

0

0

0

0

0

27

2 Г

0

6

0

0

0

0

6

0

8

0

0

0

7

0

0

27

1 5 1 1 Б

0

6

6

0

0

0

7

0

8

0

0

0

0

0

0

27

5 4 А

6

6

0

5

0

0

0

0

0

0

0

1

7

0

0

25

1 5 6 8 А

6

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

25

3 1 5 Б

6

0

6

0

0

0

7

0

5

0

0

0

0

0

0

24

2 1 8 А

0

6

0

2

0

0

7

0

0

0

0

0

7

0

0

22

2 0 0 7 Г

0

6

0

7

0

0

7

0

1

0

0

1

0

0

0

22

14Б Жуковский

0

6

0

0

0

0

0

0

8

7

0

0

0

0

0

21

2 0 0 7 Ж

0

6

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

7

0

0

21

1 5 6 8 Б

6

6

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

7

0

0

20

1 5 6 8 В

0

6

0

0

0

0

7

4

1

0

0

0

0

0

1

19

5 4 Б

0

6

0

0

0

0

4

0

0

0

1

0

0

7

18

3 4 5

6

6

0

2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

15

1 1 8 9 Б

6

6

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

15

1 5 6 4 А

0

6

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

7

0

0

15

1 1 3 0

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

7

0

0

14

2 0 0 7 Д

0

6

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

14

14А Жуковский

0

6

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

13

9 Королев

0

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

1 1 8 9 В

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

7

0

0

11

1 5 5 4

0

0

0

8

0

1

0

0

0

0

0

0

9

1 1 8 9 Г

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

1

0

0

0

8

2 0 0 7 E

0

0

0

0

0

0

0

1

7

0

0

8

4А Дзержинский

4

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

7

4Б Дзержинский

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

1 5 6 4 Б

0

6

0

0

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

0

0

6

Rambler's
Top100 Rambler's Top100