Математическая регата 11 классов 8.11.2007

1.1. На доске после урока алгебры остались график функции y = x² и 2007 прямых, параллельных прямой y = x, каждая из которых пересекает параболу в двух точках. Найдите сумму абсцисс точек пересечения прямых и параболы.

1.2. В трапецию вписан круг радиуса r. Найдите площадь трапеции, если углы при большем основании равны a и b .

1.3. На координатной плоскости проведены 11 прямых и отмечены все точки их попарного пересечения. Могло ли оказаться так, что на каждой из прямых лежит ровно 5 точек с положительными абсциссами и ровно 5 точек с отрицательными абсциссами?

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

2.1. Равноускоренно движущийся автомобиль увеличивает свою скорость на некотором прямолинейном участке дороги с v₁ до v₂. Найдите скорость автомобиля в середине этого участка.

2.2. Точки А, В, C и D расположены в пространстве так, что АС = 10, ВD = 8, а расстояние между серединами отрезков АВ и CD равно 9. Верно ли, что данные точки лежат в одной плоскости?

2.3. Натуральное число А имеет ровно три делителя, а натуральное число В — 5 делителей. Сколько делителей может иметь произведение чисел А и В?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

3.1. Углы a , b и g некоторого треугольника удовлетворяют равенству cos3a + cos3b + cos3g = 1. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 120° .

3.2. Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника, периметры которых равны m и n. Найдите периметр данного треугольника.

3.3. Каждое целое число покрасили в один из двух цветов: синий или желтый. Верно ли, что найдутся два различных числа одного цвета, среднее арифметическое которых — целое число того же цвета?

4.1. Найдите наибольшее значение выражения .

4.2. В треугольной пирамиде ABCD плоские углы при вершине D прямые, а Н — основание высоты, опущенной из этой вершины. Известно, что отношение площадей треугольников АНВ и ВНС равно k. Найдите отношение площадей граней АDB и BDC.

4.3. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, в котором m строк и n столбцов, причем m Ј n. Диагональ этого прямоугольника пересекает ровно 25 его клеток. Найдите все возможные значения (m; n).

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

5.1. Может ли многочлен 2x⁴ + 8x³ + 12x² + 8x + 1 являться суммой квадратов каких-либо двух многочленов?

5.2. Равносторонние треугольники ABC и DFЕ распложены на плоскости так, что вершина В лежит внутри отрезка DE, а вершина F — внутри отрезка АС. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки А, С, D и E.

5.3. В тетраэдре около каждой вершины записали целое число. Около каждого ребра записали число, равное сумме чисел на его концах, а в каждой грани записали число, равное сумме чисел в вершинах грани. Могут ли на ребрах оказаться шесть последовательных целых чисел, а на гранях — четыре последовательных целых числа?

Результаты регаты: