Matematicheskaja regata 9 klassov

Математическая регата 9 классов 11.10.2008

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. У девятиклассника – 10 учебных предметов. Его средний балл за четверть равен 4,6. Сколько у него троек, четверок и пятерок, если известно, что присутствуют все эти оценки, а двоек у него нет?

1.2. Сколько существует различных прямоугольных треугольников, у которых одна из сторон равна 5 см, а одна из высот равна 3 см?

1.3. Может ли сумма + быть квадратом какого-либо натурального числа?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Известно, что уравнение x⁴ + a = 0 (x – переменная, а – некоторое число) имеет два различных корня. Сколько корней имеет уравнение x⁴ + a = x²?

2.2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты BD и CE. Найдите угол BDE, если ВС = 2ВЕ.

2.3. Известно, что сумма четырех целых чисел кратна шести. Докажите, что сумма кубов этих чисел также кратна шести.

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Докажите, что при a > b > c выполняется неравенство .

3.2. На окружности отмечены точки А и В, из которых проведены равные отрезки касательных АР и ВQ так, что АВ и РQ не параллельны. В каком отношении прямая АВ делит отрезок РQ?

3.3. В круговом футбольном турнире участвовало n команд (n > 5), за победу начислялось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0. В итоге все команды набрали одинаковое количество очков. Докажите, что найдутся хотя бы три команды, имеющие одинаковое количество побед.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Стороны а, b и c треугольника связаны соотношением a⁸ + b⁸ + c⁸ = 2a⁴b⁴ + 2b⁴c⁴ + 2c⁴a⁴. Определите вид треугольника (по углам).

4.2. В прямоугольный треугольник вписана окружность и к ней перпендикулярно гипотенузе проведены касательные, пересекающие гипотенузу в точках D и E . Под каким углом виден отрезок DE из вершины прямого угла?

4.3. Дан квадрат 4x4 и четыре разных цвета. Сколькими способами можно покрасить клетки квадрата так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке присутствовали все цвета?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Найдите наименьшее значение выражения , если числа a и b неотрицательны и a + b = 1.

5.2. Ребенок, находящийся на мосту, тянет за веревку игрушечный автомобильчик, который катится по дороге под мостом (см. рисунок). Известно, что, «притягивая» машинку, он намотал 10 см веревки. Верно ли, что игрушка также сдвинется на 10 см? Ответ обоснуйте.

5.3. Ходом фишки, стоящей на некоторой клетке K доски 8´ 8, назовем ее прыжок на свободную клетку, которая симметрична K относительно какой-нибудь другой стоящей на доске фишки. Какое наибольшее количество фишек можно поставить на клетки этой доски так, чтобы любая фишка могла сделать ход?

Команда	I тур			II тур			III тур			IV тур			V тур			Сумма	Диплом
Команда	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3
5 7	6	6	6	7	7	7	8	8	2	0	9	0	0	7	6	79	I
2 А	6	6	6	7	7	7	0	1	5	0	0	0	0	7	0	52	II
5А Долгопрудный	0		6	7	0	7	0	8	0	0	9	0	0	7	0	44	III
Кострома А	6	2	6	7	7	7	0	1	0	0	1	0	0	7	0	44	III
Интеллектуал А	6	6	0	7	7	0	0	8	0	0		0	1	7	0	42	III
1 1 8 9 В	0	3	6	0	7	7	8	2	0	0	0	0	1	7	0	41	III
2 5 А	0	3	6	0	1	7	0		8	3	0	0	0	7	0	35	ПП
2 0 0 7 В	1	3	6	7	7	7	0	1	0	0	0	0	0	2	0	34	ПП
5Б Долгопрудный	6	3	0	0	0	7	0	8	0	0	0	1	0	7	0	32	ПП
1 5 1 4 Б	0	2	6	-1	7	6	0	2	0	0	9	0	0	0	0	31	ПП
1 5 7 4	0	6	0	7	7	0	8	1	0	0	1	0	0	0	0	30	ПП
1 5 1 4 А	0	3	0	0	7	7	0	0	0	0	9	0	0	0	0	26	ПП
2 0 0 7 Б	2	2	6	7	1	0	0	0	0	0	0	0	6	1	0	25	ПП
1 5 3 7 Б	1	6	6	6	1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	23	ПП
2 0 0 7 Г	2	1	6	-1	7	0	8	0	0	0	0	0	0	0	0	23	ПП
Кострома Б	6	3	0	-1	7	6	0	0	0	0	1	0	0	1	0	23	ПП
6 5 4 А	2	1	6	6	1	0	0	1	0	0	0	4	0	1	0	22	ПП
1 5 8 0 А	1	0	4	7	1	0	0	1	0	0	1	0	0	7	0	22	ПП
Фрязино А	3	2	6	0	0	7	0	2	0	0	0	0	1	0	0	21	ПП
1 5 4 3	0	3	6	0	0	0	0	1	1	0		0	0	7	0	18
1 5 6 8 Б	1	1	6	-1	1	0	0	2	0	0	0	0	1	7	0	18
1 5 6 4 А	0	2	6	0	1	7	0	0	0	0	1	0	0	0	0	17
1 1 8 9 Г	0	6	5	-1	1	0	0	1	0	0	1	0	0	3	0	16
1 5 1 1 А	0	2	6	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	7	0	16
1 9 2	0	2	0	7	7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	16
2 5 В	0	1	0	7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	7	0	15
1 5 8 0 В	0	2	6	-1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	7	0	15
1 5 5 7 Б	0	2	0	0	5	0	0	0	0	0	0	0	0	7	0	14
2 0 0 7 А	0	0	6	0	7	0	0	0	0	0		0	0	0	0	13
1 1 8 9 А	0	3	6	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	12
1 5 6 8 В	5	1	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	12
7 А	1	1	6	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	11
1 5 1 1 Б	1	0	6	0	0	0	0	1	0	0	0	0	2	0	1	11
1 5 1 5 Б	1	3	6	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
1 5 2 4 А	1	3	6	-1	-1	0	0	2	0	0	1	-1	0	0	0	10
1 5 2 5 А	1	2	5	-1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	10
1 5 5 7 А	6		0	0	1	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	10
1 5 6 4 Б	1	2	6	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	10
1 5 6 8 Д	1	2	1	3	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	10
2 1 8	0	3	6	0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	0	9
1 4 3 4 Б				0	7	0	0	2	0	0	0	0	0	0	0	9
1 5 6 8 Г	1	6	0	-1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	2	0	9
7 Б	0	2	6	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	7
6 5 4 В	1	3	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	7
1 5 2 5 Б	0	2	3	0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	5
1 5 8 0 Б	1	2	0	0	0	0	0	2	0	0	0	0	0	0	0	5
1 7 3 9 А	0	1	0	-1	1	0	0	-1	0	0	0	0	0	5	0	5
Фрязино Б	1	2	0	0	0	0	0	2	0	0	0	0	0	0	0	5
1 1 8 9 Б	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	0	4
1 5 6 8 А	1	2	0	0		0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	4
6 5 4 Г	1	1		0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3
1 5 1 5 А	1	2	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	2
Переславль							0	2	0	0	0	0	0	0	0	2
1 6 0 А	1	0	0	-1	0	0	0	0	0	0		0	0	1	0	1
6 5 4 Б	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
1 5 3 7 А				0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1
МЭШ	1	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1
1 6 0 Б						0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1 5 2 4 Б	0		0	-1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
1 7 3 9 Б		0		0	0	0	0		0	0	0	0	0	0	0	0