Математическая регата 10 классов 6.03.2010

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

10 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).

1.1. Решите уравнение: .

1.2. На плоскости АВС расположены два куба АВСDABCD’ и KMNCQEFP – так, как это показано на рисунке. Сравните длины отрезков AP и DK.

1.3. Докажите, что сумма цифр в десятичной записи числа 3200 меньше, чем 1000.

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

2.1. Известно, что а > b > c. Докажите, что .

2.2. В треугольнике АВС проведена биссектриса АL. Через точку L проведена прямая, перпендикулярная AL и пересекающая лучи АВ и АС в точках М и K соответственно. Найдите AK, если АВ = 4, АС = 6.

2.3. Какое наибольшее количество ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы любая белая ладья не била никакую ладью по горизонтали, а любая черная ладья не била никакую ладью по вертикали?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

3.1. Известно, что m2 + n2 = 1, k2 + p2 = 1 и mk + np = 0. Найдите mn + kp.

3.2. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD произвольно выбраны точки Р и Q соответственно. Из вершины В на отрезки АР и АQ опущены перпендикуляры BB1 и BB2, а из вершины D – перпендикуляры DD1 и DD2 соответственно. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.

3.3. Полоска 1´ 100 разбита на единичные квадраты. В эти квадраты записывают числа 1, 2, ..., 100 следующим образом: сначала в какой-нибудь квадрат записывают число 1, затем в один из соседних квадратов записывают число 2, затем в один из соседних с уже занятыми квадратами записывают число 3, и так далее. Сколькими способами это можно проделать?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).

4.1. Число а является корнем уравнения x3 – 3x2 + 5x – 17 = 0, а число bкорнем уравнения x3 – 3x2 + 5x + 11 = 0. Какие значения может принимать a + b?

4.2. Точка М – середина ребра АА1 треугольной призмы АBCA1B1C1. На прямой АВ1 выбрана точка Е, а на прямой ВС1 – точка F так, что прямые EF и СМ параллельны. Найдите .

4.3. Можно ли в десятичной записи числа А = 28999 изменить ровно одну цифру так, чтобы оно стало простым?

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

5.1. Известно, что уравнение x4 + px2 + q = 0 имеет ровно три корня. Сколько корней имеет уравнение x4 + qx2 + p = 0?

5.2. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС взяты точки Е и F соответственно. Отрезки ЕС и пересекаются в точке О. Докажите, что если площадь четырёхугольника ВЕОF равна площади треугольника АСО, то АЕ = ВF.

5.3. Существует ли выпуклый шестиугольник, у которого длина одной из сторон равна 1, а длины всех диагоналей – целые числа?

Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

СУНЦ А

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

0

9

7

7

7

102

I

5А Долгопрудный

6

6

6

7

7

7

0

8

8

0

5

9

7

7

7

90

II

30А С-Петербург

6

6

6

7

1

7

8

8

6

0

0

9

7

7

7

85

II

2 В

6

6

6

7

0

7

8

4

8

0

0

9

7

7

7

82

II

Интеллектуал Б

6

6

6

5

7

7

0

0

8

0

9

3

7

7

0

71

III

СУНЦ В

6

0

6

6

0

7

8

4

8

0

0

9

7

1

7

69

III

1 1 8 9 А

6

6

6

0

7

7

8

0

8

0

0

4

7

6

0

65

III

1 5 1 4 Б

1

6

6

7

7

7

0

4

8

0

0

3

7

7

0

63

III

2 1 8 А

0

6

6

7

0

7

4

8

8

0

0

9

7

0

0

62

III

1 5 4 3 А

6

0

6

7

7

7

8

1

0

5

9

3

0

0

0

59

ПП

СУНЦ Б

6

0

6

7

0

7

8

8

0

0

0

9

7

0

0

58

ПП

1 3 0 3 А

6

6

6

0

1

7

7

0

0

0

9

1

7

7

0

57

ПП

1 5 1 4 А

6

6

6

7

0

7

8

2

0

0

0

2

7

0

0

51

ПП

3 1 5 Б

0

5

6

7

2

7

0

4

0

0

9

1

0

7

0

48

ПП

1 5 3 4 А

6

6

6

0

1

0

0

1

2

0

0

9

7

7

0

45

ПП

2 0 0 7 А

6

6

6

5

0

2

8

0

0

0

0

7

5

0

45

ПП

1 5 2 1 А

6

0

6

0

0

0

0

0

8

9

0

9

6

0

0

44

ПП

СУНЦ Г

0

6

6

0

0

7

8

8

2

0

0

0

7

0

0

44

ПП

5Б Долгопрудный

0

6

6

6

0

0

0

1

0

0

0

3

7

7

7

43

ПП

1 5 8 0 А

6

6

6

5

0

3

1

7

0

0

0

3

6

0

0

43

ПП

30Б С-Петербург

6

6

6

7

7

0

0

0

8

0

0

2

0

0

0

42

ПП

1 5 2 5

6

0

5

7

0

7

0

0

0

1

0

1

7

7

0

41

1 5 6 8 Б

6

6

6

5

0

0

0

0

0

0

0

9

7

0

0

39

Кострома

6

6

6

0

0

7

0

0

0

0

0

9

0

0

0

34

1 5 1 4 В

6

6

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

7

7

0

33

1 5 6 8 Г

6

6

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

32

2 0 0 7 Д

1

6

6

7

0

0

0

0

2

0

0

3

7

0

0

32

5В Долгопрудный

0

-1

1

7

0

7

0

0

0

0

0

0

7

7

0

28

9 1 Б

6

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

7

7

0

28

2 0 0 7 Г

6

6

6

0

1

0

8

0

0

0

0

1

0

0

0

28

1 5 6 4 А

6

6

6

0

0

2

0

0

0

0

0

0

7

0

0

27

Переславль

1

1

0

7

0

7

0

0

0

0

0

4

0

7

0

27

1 5 1 1 А

6

6

6

0

-1

7

0

2

0

0

0

0

0

0

0

26

1 5 1 1 Б

6

0

0

0

7

4

8

0

0

0

0

0

0

0

0

25

1 5 3 7 Б

6

6

2

0

1

1

0

0

1

0

-1

0

7

2

0

25

2 1 8 В

0

6

6

0

1

0

0

4

0

0

0

0

7

0

0

24

1 5 3 7 А

1

0

0

7

0

2

8

0

2

0

0

1

0

3

0

24

1 5 8 0 В

6

6

2

7

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

24

1 5 4 3 Б

0

6

6

0

0

0

0

4

6

0

0

1

0

0

0

23

2 1 8 Б

0

0

6

0

0

5

1

0

0

0

0

3

7

0

0

22

3 1 5 А

1

0

2

0

0

-1

0

0

0

0

9

4

0

7

0

22

3 1 5 В

0

6

0

0

1

-1

0

0

0

0

9

0

0

7

0

22

1 1 8 9 Б

0

0

6

7

0

0

8

1

0

0

0

0

0

0

0

22

1 9 2 А

0

6

0

7

1

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

21

2 0 0 7 В

6

0

0

7

1

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

21

5 4 Б

0

5

4

7

0

2

0

0

1

0

0

1

0

0

0

20

9 1 А

0

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

20

1 5 6 8 А

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

7

0

0

20

1 9 2 Б

0

5

4

7

0

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

19

1 1 0 6

6

0

0

0

0

2

8

0

0

0

0

0

0

0

0

16

2 1 8 Г

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

1

7

0

0

15

1 1 8 9 Г

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

7

0

0

15

1 5 5 7 А

0

6

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

7

14

7

6

0

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

1 5 6 8 В

6

6

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

13

1 5 8 0 Г

0

6

3

0

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

13

1 3 0 3 Б

0

6

0

0

1

0

0

0

1

0

0

4

0

0

0

12

1 5 6 4 В

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

7

3

0

12

1 5 3 7 В

6

4

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11

1 5 5 7 Б

0

0

0

0

0

0

0

1

7

2

0

10

5 4 В

-1

0

0

0

7

3

0

0

0

0

0

0

0

0

9

9 1 В

0

6

0

0

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

9

5 4 А

1

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

1 5 8 1 А

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

0

0

8

6 5 4 А

0

5

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 9 2 В

0

0

7

0

0

0

0

7

1 5 8 0 Б

0

0

6

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 1 8 9 В

1

0

3

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6

1 5 6 4 Б

1

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

6

1 5 8 1 Б

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

3

6 5 4 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1 4 2 5 А

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2 0 0 7 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 4 2 5 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Rambler's
Top100 Rambler's Top100