Математическая регата 7 классов 17.04.2010

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Существуют ли такие натуральные числа а и b, что число b является натуральной степенью числа a и число b в 16 раз больше числа а?

1.2. Одно из измерений прямоугольника увеличили на 99 см, а другое – уменьшили на 1 см, и получили новый прямоугольник. Можно ли утверждать, что площадь прямоугольника увеличилась? Ответ обоснуйте.

1.3. Незнайка лжет по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»? Ответ обоснуйте.

2.1. В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на 10 минут в сутки спешат. Сегодня в полдень и те, и другие часы показывали правильное время. Когда в следующий раз они одновременно покажут правильное время?

2.2. Можно ли так изобразить два четырехугольника, чтобы их общая часть (пересечение) оказалась десятиугольником?

2.3. В поезде Москва – Тьмутаракань ввели сплошную нумерацию мест в вагонах. Во всех вагонах одинаковое количество мест. Известно, что места 385 и 416 находятся в одном вагоне, а места 544 и 577 находятся в разных вагонах, причем эти вагоны – не соседние. Сколько мест в одном вагоне? Ответ обоснуйте.

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. При каких значениях k прямые у = kх и у = х + 1 пересекаются в первой координатной четверти?

3.3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Победитель выиграл у всех и набрал в 5 раз меньше очков, чем все остальные вместе. Сколько было участников? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков)

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Существуют ли такие три различных числа а, b и с, что а(b – c) = b(c – a) = c(a – b)?

4.2. Треугольник ABC – равнобедренный, Ð BAC = 120°. На продолжении стороны AС за вершину A взята точка D так, что AD = 2AB. Докажите, что треугольник BDC – также равнобедренный.

4.3. На экране компьютера было записано число 123456789. Вася так вставил пробелы между некоторыми цифрами этого числа, что оно разбилось на несколько кусков, причем числа, записанные на любых двух кусках, оказались взаимно простыми. Какое наибольшее количество кусков могло при этом получиться? (Напомним, что взаимно простыми называются натуральные числа, у которых есть ровно один общий делитель – единица.)