Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)
9 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов). 1.1. Известно, что x и y – различные числа, причем
(x – 2008)(x – 2009) = (y – 2008)(y – 2009). Какие значения может принимать выражение x + y? 1.2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°.
Из середины основания опущен перпендикуляр на боковую сторону. В каком отношении основание перпендикуляра делит боковую сторону? 1.3. Верно ли, что число 999991 – простое? Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов). 2.1. В математической школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60% мальчиков сосед по
парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по парте – тоже девочка. Какую часть учащихся этой школы составляют девочки? 2.2. Точку внутри треугольника соединили отрезками с тремя точками, взятыми по одной на каждой стороне.
Докажите, что если из трех образовавшихся четырехугольников два являются вписанными, то и третий четырехугольник также является
вписанным. 2.3. 16 карточек занумеровали от числами 1 до 16. Можно ли их выложить вдоль одной прямой так, чтобы сумма
номеров на любых двух соседних карточках была точным квадратом? Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов). 3.1. Докажите, что если а > 0, b > 0 и а + b ³
2, то а3 + b3 ³ 2. 3.2. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD перпендикулярны.
Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные прямым CD и BC соответственно.
Докажите, что точка пересечения этих прямых лежит на прямой АС. 3.3. Два приятеля пришли на базар. Веселый молодец продавал 20 котов по цене от 12 до 15 рублей и
20 мешков по цене от 30 копеек до 1 рубля. При этом цены всех котов и всех мешков попарно различны. Верно ли, что каждый из
друзей может купить по коту в мешке так, чтобы они заплатили одинаковую сумму денег? Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов). 4.1. Решите уравнение: x4 – 2x2 – 400x = 9999. 4.2. Внутри квадрата АВСD взята точка Р такая, что АР : ВР : СР = 1 : 2 : 3.
Найдите угол АРВ. 4.3. Квадрат разделили на прямоугольники, проведя несколько разрезов,
параллельно его сторонам (от края до края). Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников
в семь раз больше периметра исходного квадрата. Какое наибольшее количество прямоугольников могло получиться? Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
5.1. Известно, что x + y + z = a и x–1 + y–1 + z–1 = a–1. Какие значения может принимать выражение (x – a)(y – a)(z – a)?
5.2. В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны точки D и E соответственно, причём AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны.
5.3. Верно ли, что среди чисел вида 2n + 4k (n и k – натуральные числа) бесконечно много квадратов целых чисел?
Результаты регаты:
|
Команда |
I тур |
II тур |
III тур |
IV тур |
V тур |
Сумма |
Диплом |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
2 0 0 7 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
0 |
7 |
7 |
77 |
I |
|
2 1 8 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
7 |
4 |
0 |
0 |
66 |
I |
|
1 5 4 3 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
63 |
I |
|
8 5 3 А |
0 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
1 |
7 |
0 |
0 |
7 |
56 |
II |
|
2 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
0 |
55 |
II |
|
1 1 8 9 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
53 |
II |
|
2 1 8 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
0 |
49 |
II |
|
1 5 4 3 Б |
0 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
7 |
0 |
48 |
II |
|
1 5 1 4 Б |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
6 |
5 |
0 |
44 |
III |
|
|
1 5 4 3 Д |
0 |
4 |
4 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
9 |
7 |
0 |
0 |
44 |
III |
|
2 0 0 7 Д |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
44 |
III |
|
2 В |
0 |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
3 |
43 |
III |
|
1 5 1 4 Г |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
42 |
III |
|
|
5 7 А |
0 |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
7 |
0 |
7 |
0 |
41 |
III |
|
1 5 5 7 А |
0 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
41 |
III |
|
2 Д |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
39 |
ПП |
|
1 5 4 3 А |
6 |
6 |
0 |
-1 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
39 |
ПП |
|
8 5 3 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
0 |
7 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
38 |
ПП |
|
3 1 5 |
0 |
6 |
0 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
0 |
37 |
|
|
2 1 8 В |
0 |
0 |
6 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
7 |
0 |
0 |
36 |
|
|
Интеллектуал А |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
34 |
|
|
1 5 1 4 В |
6 |
6 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
7 |
0 |
33 |
|
|
1 5 4 3 Г |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
33 |
|
|
30 С-Пб |
6 |
0 |
6 |
7 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
32 |
|
|
1 5 3 4 Б |
0 |
6 |
0 |
7 |
5 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
32 |
|
|
Интеллектуал В |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
1 |
0 |
9 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
32 |
|
|
1 5 2 4 А |
0 |
5 |
6 |
7 |
7 |
7 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
30 |
|
|
1 5 3 7 А |
0 |
6 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
30 |
|
|
1 7 9 Б |
0 |
6 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
29 |
||
|
4 4 4 А |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
28 |
|
|
1 1 8 9 Б |
0 |
6 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
28 |
|
|
2 1 8 Д |
6 |
6 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
26 |
|
|
1 5 6 8 Б |
6 |
6 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
26 |
|
|
2 0 0 7 Б |
6 |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
25 |
|
|
2 0 0 7 В |
6 |
6 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25 |
|
|
2 0 0 7 Г |
6 |
0 |
6 |
7 |
0 |
7 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25 |
|
|
1 5 6 8 А |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
7 |
2 |
0 |
24 |
|
|
5 7 Б |
0 |
6 |
5 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
23 |
||
|
2 Г |
7 |
6 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
22 |
||||||
|
1 1 8 9 В |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
22 |
|
|
5 4 Б |
6 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
||||
|
5 7 Г |
6 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
|
|
1 5 1 4 А |
6 |
0 |
0 |
3 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
|
Переславль |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
|
1 5 8 1 А |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
15 |
||
|
Интеллектуал Г |
0 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
15 |
||
|
5 4 А |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
||||
|
1 7 9 А |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
||
|
1 1 8 9 Г |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
|
|
1 3 8 4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
14 |
|
|
1 5 5 7 В |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
||||
|
Интеллектуал Б |
0 |
0 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
|
|
7 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
|
2 1 8 Г |
0 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
|
1 5 1 1 А |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
|
1 5 1 1 Б |
0 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|||||
|
1 5 3 4 А |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
||
|
Троицк А |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
|
5 4 6 Б |
0 |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
|
|
1 5 3 7 Б |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
|
|
1 5 5 7 Б |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
|
|
2 А |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
||
|
1 5 2 А |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
|
1 5 2 5 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
|
1 5 8 1 В |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
||
|
1 7 4 1 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
|
1 7 4 1 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
|
Троицк Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
7 |
||
|
9 1 А |
0 |
0 |
-1 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
1 5 6 4 А |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
6 3 3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 5 6 4 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
5 4 6 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 5 2 4 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 5 2 5 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
1 5 3 7 В |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
1 5 3 7 Д |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 5 8 1 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
1 5 8 1 Г |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 7 6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
1 5 3 7 Г |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
