Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. На координатной плоскости изображен график функции y = ax² + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат?

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

1.3. На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Известно, что 5(а – 1) = b + a². Сравните числа а и b.

2.2. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 45° , АМ и CN – его высоты, О – центр описанной окружности, Н – ортоцентр (точка пересечения высот). Докажите, что ОNHМ – параллелограмм.

2.3. Найдите наименьшее натуральное n, при котором число А = n³ + 12n² + 15n + 180 делится на 23.

3.1. Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что любые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

3.2. Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

3.3. Какое наибольшее суммарное количество белых и черных шашек можно расставить в клетках доски 8´ 8 так, чтобы выполнялось следующее условие: в каждой горизонтали и в каждой вертикали белых шашек должно быть в два раза больше, чем черных?