Результаты | Решения (html-файл) | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

9 класс

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. На координатной плоскости изображен график функции y = ax2 + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат?

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

1.3. На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

 

 

 

 

 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Известно, что 5(а – 1) = b + a2. Сравните числа а и b.

2.2. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 45° , АМ и CN – его высоты, О – центр описанной окружности, Н – ортоцентр (точка пересечения высот). Докажите, что ОNHМ – параллелограмм.

2.3. Найдите наименьшее натуральное n, при котором число А = n3 + 12n2 + 15n + 180 делится на 23.

 

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

3.1. Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что любые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

3.2. Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

3.3. Какое наибольшее суммарное количество белых и черных шашек можно расставить в клетках доски 8´ 8 так, чтобы выполнялось следующее условие: в каждой горизонтали и в каждой вертикали белых шашек должно быть в два раза больше, чем черных?

 

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)

4.1. Для различных положительных чисел а и b выполняется равенство = . Докажите, что а и b – взаимно обратные числа.

4.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD: Ð ВАС = 20° , Ð ВСА = 35° , Ð ВDС = 40° , Ð ВDА = 70° . Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

4.3. Найдите все простые числа p, q и r, для которых выполняется равенство: p + q = (p – q)r.

 

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

5.1. Найдите наибольшее натуральное n такое, что n200 < 5300.

5.2. В трапеции ABCD биссектриса тупого угла B пересекает основание AD в точке K – его середине, M – середина BC, AB = BC. Найдите отношение KM : BD.

5.3. Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?






Результаты:

Команда I тур II тур III тур IV тур V тур Сумма Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 5 1 4 Д 6 6 6 7 7 7 8 0 8 9 0 1 7 7 7 86 I
1 7 9 В 6 0 6 0 7 7 8 0 8 9 9 7 7 2 7 83 I
1 5 1 4 А 6 6 6 7 7 7 8 0 8 9 0 1 7 7 4 83 I
1 5 4 3 А 6 6 6 0 7 7 8 0 8 0 0 5 7 7 7 74 II
2 0 0 7 А 3 0 6 7 0 7 8 0 8 9 0 1 7 7 4 67 III
1 5 1 4 В 6 0 0 7 2 7 8 8 8 9 0 1 7 1 0 64 III
2 0 0 7 Б 6 1 6 0 2 7 8 0 8 0 9 8 7 2 0 64 III
30 СП-Б 6 6 6 0 1 7 8 0 8 0 0 7 7 0 7 63 III
1 5 4 3 В 3 6 0 7 1 7 8 0 8 9 0 0 7 7 0 63 III
2 А 6 6 6 0 2 7 8 8 8 9 0 0 0 1 0 61 III
1 7 9 Б 6 0 6 0 0 2 8 0 8 9 0 1 7 7 7 61 III
Переславль 6 4 6 0 0 7 8 0 8 9 0 1 7 0 4 60 III
1 1 8 9 А 0 1 0 7 0 7 8 0 8 0 0 7 7 7 7 59 III
1 5 6 8 В 6 6 6 0 7 2 8 0 8 6 0 1 7 0 0 57 ПП
Кострома 0 6 6 0 7 5 8 0 8 9 0 1 7 0 0 57 ПП
Интеллектуал Б 6 0 6 0 7 2 8 7 8 0 0 0 7 0 5 56 ПП
Kostroma Open 6 0 6 0 0 7 8 8 8 0 0 0 7 0 6 56 ПП
8 5 3 А 6 1 6 0 7 2 8 0 8 0 0 7 0 2 7 54 ПП
2 Б 6 1 6 0 0 2 8 6 8 9 0 0 7 0 0 53 ПП
2 0 0 7 В 6 1 6 7 2 7 0 0 8 9 4 1 2 0 0 53 ПП
1 5 6 8 Б 6 6 6 0 2 7 8 0 8 0 0 1 7 1 0 52 ПП
2 0 0 7 Г 6 0 6 0 0 7 8 0 8 0 0 1 7 0 7 50 ПП
1 5 4 3 Г 6 6 0 0 7 7 8 0 0 0 0 1 7 7 0 49
2 Г 3 1 6 7 2 7 8 0 4 0 0 1 7 2 0 48
82А Черноголовка 6 1 6 0 0 3 8 0 8 9 0 0 7 0 0 48
6 5 4 Б 6 1 6 7 2 0 8 8 0 0 0 0 7 0 0 45
2 5 А 3 0 6 0 0 7 8 0 8 0 0 4 7 0 0 43
1 5 3 4 3 0 6 7 0 2 0 0 8 9 0 0 7 1 0 43
1 5 1 4 Б 6 6 0 0 0 0 8 0 3 9 0 1 7 2 0 42
Интеллектуал В 6 5 0 0 2 5 6 0 8 0 0 2 7 1 0 42
4 4 4 А 0 1 6 0 7 2 8 0 8 0 0 1 7 0 0 40
1 5 3 7 В 6 0 6 -1 0 5 8 0 8 0 0 1 7 0 0 40
1 5 6 8 А 6 5 0 -1 6 2 0 0 3 9 0 1 7 2 0 40
2 В 6 0 0 0 0 7 8 0 0 9 0 0 7 0 0 37
1 3 8 4 6 1 6 7 0 2 0 0 8 0 0 0 7 0 0 37
1 5 6 8 Г 6 0 0 7 2 8 0 0 9 0 1 1 3 0 37
2 1 8 3 0 6 0 1 2 8 0 8 0 0 0 7 1 0 36
1 7 9 Г 3 0 6 0 0 0 4 0 8 6 0 1 7 0 0 35
1 5 8 0 Г 5 0 0 0 1 2 0 8 8 0 0 0 7 3 0 34
4 4 4 Б 0 6 6 0 0 2 0 0 8 0 0 1 7 3 0 33
Интеллектуал А 4 1 0 0 1 0 8 0 8 0 1 0 7 2 0 32
1 7 9 А 0 6 0 0 0 2 8 0 8 0 0 0 7 0 0 31
Квантик 6 0 6 0 0 2 8 0 8 0 0 1 0 0 0 31
1 1 8 9 Б 0 6 6 0 0 2 0 0 8 -1 0 0 7 1 0 29
1 5 1 4 Г 6 0 0 2 0 0 8 0 3 0 0 0 0 3 7 29
1 5 3 7 А 6 6 6 0 3 0 0 0 0 0 0 1 7 0 0 29
1 5 3 7 Б 0 1 6 0 2 0 0 3 6 0 1 7 3 0 29
2 0 0 7 Д 6 1 0 0 1 0 8 0 4 0 0 0 7 1 0 28
6 5 4 А 6 0 6 7 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 27
5 А Долгопрудный 0 0 0 0 0 1 0 0 8 8 0 0 7 2 0 26
4 6 5 0 6 0 0 7 0 0 0 0 1 0 7 0 0 26
1 5 8 1 А 3 1 0 2 1 8 0 1 6 0 0 4 0 0 26
2 5 Б 0 6 0 -1 0 0 8 0 4 0 0 1 0 7 0 25
1 5 4 3 Б 0 0 7 8 0 1 9 0 0 0 0 0 25
7 Б 6 1 6 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 2 0 24
1 5 6 4 А 6 0 6 0 0 0 0 0 4 7 0 0 0 1 0 24
1 5 5 7 А 0 0 6 0 0 2 0 0 8 0 0 0 7 0 0 23
1 7 4 1 А 6 1 6 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 7 2 0 23
9 1 6 1 0 1 0 2 0 0 8 0 0 1 1 2 0 22
7 А 2 6 0 0 0 2 0 0 4 0 0 0 7 0 0 21
1 5 4 3 Д 2 0 0 0 0 2 8 0 0 0 0 0 7 1 0 20
4 4 4 В 3 0 6 -1 0 2 0 0 8 0 0 1 0 0 0 19
1 5 8 0 В 0 0 6 0 0 0 0 8 -1 4 1 0 1 0 19
ЦДО 0 1 0 7 0 7 0 0 2 0 0 1 0 0 0 18
5 4 6 Б 3 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 17
1 5 8 0 Б 6 6 0 0 0 2 0 0 0 0 -1 0 1 3 0 17
2 5 В 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 7 0 0 16
1 3 0 3 А 0 0 6 0 0 2 0 0 0 0 0 1 7 0 0 16
1 5 1 1 А 3 6 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 7 1 0 16
1 5 1 1 В 3 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 7 0 0 15
1 5 5 7 Б 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 0 15
1 5 8 0 А 3 1 6 -1 0 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 15
6 5 4 В 6 1 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 7 0 0 14
1 2 0 8 4 0 0 0 0 2 0 -1 8 0 0 1 0 0 0 14
1 5 1 1 Б 3 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 7 0 0 14
5 Б Долгопрудный 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 0 0 13
1 7 4 1 Б 3 0 0 0 0 5 0 0 4 0 0 0 0 1 0 13
2 5 Г 0 0 0 1 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 10
5 6 0 0 6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 10
82Б Черноголовка 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 1 0 10
8 5 3 Б 3 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10
1 5 8 1 Б 6 1 0 0 0 2 0 -1 1 0 0 1 0 0 0 10
5 4 6 А 6 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9
1 5 6 4 Б 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7
1 5 8 4 А 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
1 5 8 4 Б 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
1 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4
3 5 4 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1