1.2. У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны? Ответ обоснуйте.

1.3. Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0.)

2.1. На рисунке изображен график функции у = kx + b.

Сравните |k| и |b|.

Ответ обоснуйте.

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Разрежьте квадрат 4´ 4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.

2.3. Является ли простым число 2011× 2111 + 2500? Ответ обоснуйте.

3.2. В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD. Докажите, что BQ = BC.

3.3. В коробке лежат 2011 белых и 2012 черных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку черный шар. Если они разного цвета, то выкидывают черный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?

4.1. Для чисел а, b и с, отличных от нуля, выполняется равенство:

a²(b + c – a) = b²(c + a – b) = c²(a + b – c). Следует ли из этого, что а = b = c?

4.3. Натуральные числа а, b, c и d таковы, что ab = cd. Может ли число a + b + c + d оказаться простым?