Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

8 класс

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. Решите уравнение: (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).

1.2. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.

1.3. Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Для некоторых чисел а, b, c и d, отличных от нуля, выполняется равенство: . Найдите знак числа ас.

2.2. Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.

2.3. Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990. (Напомним, что n! – произведение всех натуральных чисел от 1 до n.)

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

3.1. Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) является квадратом натурального числа.

3.2. В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 60° , М – середина гипотенузы АВ. Найдите угол IMA, где I – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

3.3. Сколько существует натуральных n, не превосходящих 2012, таких, что сумма 1n + 2n + 3n + 4n оканчивается на 0?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)

4.1. По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили “Ауди” и “БМВ”. Оказалось, что как в 17:00, так и в 18:00 “БМВ” находился в два раза дальше от перекрёстка, чем “Ауди”. В какое время “Ауди” мог проехать перекрёсток?

4.2. Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

4.3. Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

Результаты

I II III IV Итого Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1514 А 6 6 6 7 7 7 8 8 8 0 6 0 69 I
179 Д 6 6 6 7 7 7 0 8 8 4 9 0 68 I
2 Д 6 6 6 7 7 7 0 8 8 4 6 0 65 II
Интеллектуал А 6 2 6 7 7 7 0 8 8 4 9 0 64 II
2007 Б 6 4 6 7 7 7 0 8 8 0 9 0 62 II
30 А С-Петербург 6 6 6 7 7 7 0 1 8 4 9 0 61 II
1543 А 5 5 6 7 7 7 8 8 8 0 0 0 61 II
1543 В 6 6 6 7 7 7 0 8 8 0 6 0 61 II
5 А Долгопрудный 6 6 6 7 7 7 0 8 8 4 0 0 59 III
30 Б С-Петербург 6 6 6 7 7 7 0 8 8 4 0 0 59 III
179 В 6 6 6 2 7 7 8 8 8 0 1 0 59 III
1543 Б 6 6 6 7 7 7 8 0 6 4 0 0 57 III
179 Б 6 6 6 7 7 7 0 8 8 0 0 0 55 III
179 А 6 6 6 7 7 7 0 8 3 4 0 0 54 III
179 Г 6 5 6 7 7 7 0 8 0 4 1 0 51 пп
2 Г 6 2 6 7 7 7 8 0 7 0 0 0 50 пп
2007 Г 0 6 6 7 7 7 0 8 8 0 0 0 49 пп
2 Б 6 6 6 7 7 7 0 0 8 0 0 0 47 пп
2 В 6 2 6 7 7 7 0 0 8 4 0 0 47 пп
218 Б 6 0 6 7 7 7 0 0 8 0 6 0 47 пп
2007 А 6 6 6 7 7 7 0 0 8 0 0 0 47 пп
1189 В 6 6 6 7 6 7 0 1 1 0 6 0 46
1568 6 6 6 7 7 2 0 0 8 4 0 0 46
853 А 6 0 6 7 7 7 0 8 0 4 0 0 45
1523 6 6 6 7 0 2 8 0 8 0 1 0 44
2 А 6 0 6 7 7 7 0 0 0 9 0 0 42
5 В Долгопрудный 6 0 6 7 0 7 8 0 8 0 0 0 42
Интеллект Мытищи 6 6 6 7 7 7 0 0 3 0 0 0 42
5 Б Долгопрудный 0 6 6 7 7 7 0 8 0 0 0 41
1557 А 0 6 6 7 6 7 0 1 8 0 0 0 41
218 А 6 0 6 7 2 7 0 0 8 4 0 0 40
2 Е 1 0 6 7 7 7 0 0 1 4 6 0 39
1514 Д 6 5 6 7 7 7 0 0 0 0 1 0 39
2007 В 6 0 6 7 7 7 0 0 6 0 0 0 39
1101 0 0 6 7 7 2 8 0 8 0 0 0 38
1189 А 1 0 6 7 7 7 0 0 8 0 0 0 36
1514 Б 6 0 6 0 7 7 0 1 8 0 0 0 35
6 Мытищи 6 1 6 0 0 7 0 8 1 4 1 0 34
444 Б 0 6 6 7 7 7 0 0 1 0 34
1537 А 6 0 6 0 7 7 0 0 8 0 0 0 34
Кострома 6 0 6 7 0 7 0 0 8 0 0 0 34
1514 В 6 0 6 7 7 7 0 0 0 0 0 0 33
2007 Д 6 0 6 7 0 7 0 0 7 0 0 0 33
444 В 6 0 6 -1 0 5 0 8 8 0 0 0 32
1189 Б 6 0 6 7 1 7 0 1 4 0 0 0 32
853 Б 1 1 6 0 7 7 0 0 8 0 0 0 30
1296 0 0 6 7 2 7 0 0 8 0 0 0 30
1557 Б 3 1 6 7 1 7 0 0 1 4 0 0 30
444 А 1 1 6 7 7 7 0 0 0 0 0 0 29
1553 Б 0 0 6 7 3 7 0 0 0 4 1 0 28
444 Г 0 0 6 7 2 7 0 0 0 4 0 0 26
1514 Г 1 0 6 0 0 7 0 0 8 4 0 0 26
1564 В 0 0 6 7 7 2 0 0 0 0 1 0 23
1741 А 0 1 6 7 7 0 0 1 1 0 0 0 23
354 0 0 6 2 7 7 0 0 0 0 0 0 22
ЦДО 0 1 6 7 0 7 0 0 0 0 0 21
853 В 0 0 6 7 0 7 0 0 0 0 0 0 20
Квантик 0 0 6 0 0 7 0 0 2 4 0 0 19
546 А 0 0 6 7 2 2 0 0 0 0 0 0 17
1205 0 0 0 7 2 7 0 0 0 0 0 0 16
1537 Б 0 0 6 1 7 2 0 0 0 0 0 0 16
Гусь-Хруст. А 0 0 6 0 7 2 0 0 0 0 0 0 15
1525 0 0 6 0 0 0 0 0 8 0 1 0 15
363 Б 0 0 6 0 0 0 0 0 8 0 0 0 14
853 Г 4 0 0 0 2 8 0 0 0 0 0 14
Гусь-Хруст. В 1 0 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 14
546 Б 0 0 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 13
1741 Б 0 0 6 1 0 0 0 2 0 0 0 0 9
363 А 0 0 6 0 0 2 0 0 0 0 0 0 8
Гусь-Хруст. Б 0 0 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7
1557 В 0 0 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 7
156 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
1384 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
1564 А 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
Поварово 1 0 6 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 6
1553 А 0 0 6 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 5
СВУ 0 0 6 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 5
1295 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2
1564 Б 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2
1332 0 1 0 0 0 0 0 0 1
172 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0