Математическая регата 8 классов 14.01.2016

1.1. Известно, что . Докажите, что .

1.2. Можно ли произвольный ромб разрезать не более, чем на две части так, чтобы из этих частей сложить прямоугольник?

1.3. Найдите наименьшее простое число, которое можно представить в виде суммы пяти различных простых чисел. Ответ объясните.

2.1. В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть 3 самых маленьких гриба, то белых станет половина. Сколько грибов в корзине?

2.2. Прямая, перпендикулярная гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Е и D соответственно. Найдите угол между прямыми AD и ВЕ.

2.3. Докажите, что натуральные числа n и n²⁰¹⁷ оканчиваются на одну и ту же цифру.

3.1. Решите уравнение: .

3.2. В треугольнике АВС: АС = 8, ВС = 5. Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла С, проходит через середину стороны АВ и точку Е на стороне АС. Найдите АЕ.

3.3. Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что значение выражения оказалось целым числом. Какое наименьшее число могло получиться?

4.2. На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно так, что AK = CL и ∠ALK + ∠LKB = 60°. Докажите, что KL = BC.

4.3. Некоторые клетки белого прямоугольника размером 3×7 произвольным образом покрасили в черный цвет. Докажите, что обязательно найдутся четыре клетки одного цвета, центры которых являются вершинами некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам исходного прямоугольника.

Результаты регаты: