Математическая регата 9 классов 7.10.2017

1.1. Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?

1.2. На наибольшей стороне AB треугольника ABC отметили точки P и Q так, что AQ = AC, BP = BC. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PQC, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

1.3. Дима пишет подряд натуральные числа 12345678910111213… На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять подряд три цифры 5?

2.1. Даны 10 чисел: а₁ < a₂ < ... < a₁₀. Сравните среднее арифметическое этих чисел со средним арифметическим первых шести чисел.

2.2. Можно ли разрезать треугольник на три выпуклых многоугольника с попарно различным количеством сторон?

2.3. Найдется ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырехзначное число?

3.1. Постройте множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих равенству max(x; x²) + min(y; y²) = 1.

3.2. Внутри параллелограмма ABCD расположена точка М. Сравните периметр параллелограмма и сумму расстояний от М до его вершин.

3.3. В театральной труппе 60 актеров. Каждые два хотя бы раз играли в одном и том же спектакле. В каждом спектакле занято не более 30 актеров. Какое наименьшее количество спектаклей мог поставить театр?

4.1. Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 1. Докажите, что img

4.2. В треугольнике АВС: ∠В = 110°, ∠С = 50°. На стороне АВ выбрана такая точка Р, что ∠РСВ = 30°, а на стороне АС – такая точка Q, что ∠ABQ = 40°. Найдите угол QPC.

4.3. Пусть N – четное число, которое не кратно 10. Найдите цифру десятков числа N²⁰.

5.1. Решите уравнение: (x + 1)² + (x + 2)² + ... + (x + 10)² = (x + 1 + 2 + ... + 10)².

5.2. Окружность касается сторон AB, BC и CD параллелограмма ABCD в точках K, L и M соответственно. Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.

5.3. Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся два грибника, собравшие вместе не менее, чем 36 грибов, если количества грибов, собранных каждым, попарно различаются?

Результаты регаты: