Математическая регата 9 классов 13.10.2018

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

9 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Существуют ли два целых числа, разность квадратов которых равна 2018?

1.2. Стороны и одна из диагоналей одного четырехугольника соответственно равны сторонам и диагонали другого. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

1.3. На бесконечной шахматной доске стоят две фигуры: ладья и ферзь, из которых ни одна не бьет другую. Какое количество клеток может находиться под боем обеих фигур?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Петя отправился пешком из лагеря в поселок. В 12.00, когда Петя был в а км от лагеря, его нагнал велосипедист, посадил и подвез, высадив в а км от поселка. После этого Петя пришел в поселок в 14.00. Сколько времени потребуется Пете на обратный путь пешком из поселка в лагерь, если известно, что на велосипеде его везли со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком?

2.2. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проведенная в точке В, пересекает прямую АС в точке Р. Окружность с центром Р и радиусом РВ пересекает сторону АС в точке Q. Докажите, что BQ – биссектриса треугольника АВС.

2.3. Найдите все такие натуральные m и n, что .

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Найдите наибольшее значение суммы , если a + b + c = 6.

3.2. В треугольнике АВС проведена медиана AD, DP и DQ – биссектрисы треугольников ABD и ACD соответственно, E – точка пересечения AD и PQ. Найдите PQ, если DE = 2.

3.3. Таблицу размером 3×3 надо заполнить числами –1, 0 и 1 так, чтобы суммы чисел в строках были одинаковыми. Сколькими способами это можно сделать? (Способы считаются различными, если различаются полученные таблицы. Все числа использовать не обязательно.)

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Решите уравнение:

4.2. Три стороны и диагонали одного четырехугольника соответственно равны трем сторонам и диагоналям другого. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

4.3. В шахматном турнире по круговой системе (каждый играет с каждым ровно один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0) каждый из шахматистов, избежавших трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с тремя участниками, занявшими последние три места. Найдите наибольшее возможное количество участников турнира.

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Составьте уравнение какого-нибудь приведённого квадратного трёхчлена y = x2 + px + q, график которого пересекает оси координат в вершинах треугольника площади 15.

5.2. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает его описанную окружность в точке D. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС пересекают AD в точках М и N соответственно. Докажите, что AM = DN.

5.3. Является ли простым число 16016003?

Результаты регаты:

Команда 1 тур 2 тур 3 тур 4 тур 5 тур Сумма Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
?Летово А 6 0 6 7 7 7 8 8 8 0 9 9 7 0 7 89 I
1 7 1 (5 4) А 3 6 6 7 7 7 8 8 3 0 9 3 7 0 7 81 II
Летово Б 6 6 1 7 7 7 8 0 8 9 0 7 7 7 80 II
1 7 9 6 0 6 7 7 7 8 8 7 0 0 9 7 0 7 79 II
2 А 6 0 6 7 7 7 8 8 0 9 9 3 7 0 1 78 II
4 4 4 А 0 6 6 7 7 7 8 8 8 0 0 0 7 7 0 71 III
1 5 6 8 А 3 6 6 7 7 2 1 6 8 9 0 9 7 0 0 71 III
ЛНИП А Королёв 6 6 6 7 0 0 8 8 8 9 0 5 7 0 0 70 III
2 0 0 7 Б 6 6 6 7 7 7 1 8 5 0 0 7 0 7 67 III
ФТШ С.-Петербург 6 6 6 7 7 7 1 8 8 0 0 3 0 7 0 66 III
2 Б 6 0 6 0 7 7 1 8 8 0 9 0 7 6 0 65 III
5 А Долгопрудный 6 4 6 7 7 4 4 8 8 0 0 9 0 0 0 63 III
3 0 Санкт-Петербург 6 0 6 7 0 7 8 8 5 0 0 9 7 0 0 63 III
1 5 1 4 А 6 6 6 7 7 7 8 7 5 0 0 0 0 0 0 59 ПП
1 5 4 3 А 6 6 6 7 0 6 8 8 8 0 0 0 0 0 0 55 ПП
Летово В 6 6 6 7 7 1 8 7 0 0 0 0 0 7 55 ПП
2 0 0 7 А 5 6 6 7 0 7 1 8 6 0 0 0 0 0 0 46
1 5 6 8 Б 6 0 6 7 0 6 2 1 5 4 0 0 0 0 7 44
2 0 0 7 Г 6 0 0 7 7 0 1 8 8 0 0 0 0 7 0 44
1 5 1 8 6 6 6 7 0 1 1 8 1 0 0 0 0 0 7 43
2 0 0 7 Д 2 0 6 0 7 0 0 8 6 0 0 0 0 7 7 43
Курчатовская 3 0 6 7 0 6 0 8 4 0 0 0 0 0 7 41
1 5 3 4 Б 5 0 0 7 7 0 8 8 0 0 0 3 0 0 0 38
ЛНИП Б Королёв 6 0 6 7 0 0 6 8 3 0 0 0 0 0 0 36
Черноголовка 0 0 6 7 2 7 0 6 8 0 0 0 0 0 0 36
5 Б Долгопрудный 6 0 0 0 0 7 1 1 1 0 0 5 7 0 7 35
1 5 6 8 В 5 6 6 7 0 0 1 2 8 0 0 -1 0 0 34
4 4 4 Б 3 0 6 7 0 0 0 1 8 0 0 0 0 7 0 32
1 5 1 4 Б 6 0 0 7 5 2 0 8 1 0 0 0 0 0 3 32
ЛНИП В Королёв 3 0 6 7 0 0 1 2 3 0 0 9 0 0 0 31
1 5 1 1 3 0 6 7 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 28
2 1 0 1 Б 3 0 6 7 7 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 27
1 7 1 (5 4) Б 3 6 1 0 7 0 0 8 1 0 0 0 0 0 0 26
1 5 6 8 Г 6 0 0 7 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 25
Лицей ВШЭ 4 0 6 1 0 0 0 2 7 0 0 4 0 0 24
1 7 1 (5 4) В 3 0 0 7 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 3 23
2 0 0 7 В 1 0 0 0 7 0 1 8 1 1 0 4 0 0 0 23
2 В 4 0 6 0 7 0 1 1 1 0 0 0 0 0 20
2 1 8 Б 6 0 0 7 0 0 1 2 4 0 0 0 0 0 0 20
1 7 1 (5 4) Г 3 0 0 7 0 0 8 1 0 0 0 0 0 0 19
1 5 3 7 А 3 0 0 7 0 0 1 8 0 0 0 0 0 0 0 19
Покровский кв. А 6 0 1 7 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 19
1 5 3 7 Б 3 0 6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 7 18
1 5 3 4 А 3 0 6 0 0 1 1 2 4 0 0 0 0 0 0 17
1 5 4 3 Б 3 6 0 7 0 0 1 0 0 0 0 0 17
Мытищи 3 0 6 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 17
9 1 А 0 0 6 7 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 16
6 4 1 А 6 0 0 7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 14
Электросталь Б 3 0 6 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 14
Электросталь В 0 0 6 1 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 12
2 1 8 А 4 0 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11
М М М Ф 0 0 1 0 2 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 10
1 5 8 1 0 0 1 7 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 10
Электросталь А 0 0 0 7 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 9
Дмитров 0 0 6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 8
Покровский кв. В 4 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 8
Покровский кв. Б 0 0 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 7
2 1 0 1 А 3 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 6
6 4 1 Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rambler's
Top100 Rambler's Top100