Математическая регата 7 классов 13.05.2023

1.1. Сравните дроби: и

1.2. Сложите прямоугольник из шести прямоугольников так, чтобы любые два соседних примыкали друг к другу разными по длине сторонами.

1.3. Незнайка записал натуральное число, делящееся на 17, зачеркнул в нем последнюю цифру, умножил вычеркнутую цифру на 5 и вычел это из получившегося после зачеркивания числа. Знайка не видел ни первоначального числа, ни нового, но утверждает, что новое число также делится на 17. Прав ли Знайка?

2.1. На координатной плоскости постройте множество точек, одновременно удовлетворяющих условиям: |x – 1| = |y| и |y – 1| = |x|.

2.2. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка P так, что AP = AB. На стороне AB отмечена точка Q так, что PQ = PB. Докажите, что AQ = CP.

2.3. В шахматном фестивале участвовало 320 человек: мастера и любители. Каждый мастер дал сеанс одновременной игры десяти любителям, при этом, каждому любителю удалось сыграть в шести сеансах. Сколько мастеров участвовало в этом фестивале?

3.1. Коля стрелял в тире. Если он попадал в цель, то ему давали еще 3 дополнительных патрона. А если он попадал в цель два раза подряд, то за второе попадание ему давали 4 патрона. Сначала Коле дали 15 патронов, он сделал 44 выстрела, и патроны у него закончились. Сколько раз Коля попал в цель, если три раза подряд он не попал ни разу?

3.2. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В и медиана, проведённая из вершины С, образовали равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите углы треугольника АВС.

3.3. Расставьте в клетках таблицы размером 3×3 числа от 1 до 9 так, чтобы суммы чисел по трём горизонталям, трём вертикалям и обеим диагоналям были различными.

4.1. В строчку записано 100 чисел. Каждое число, начиная со второго, не меньше предыдущего; сумма всех чисел равна 10; сумма любых 30 чисел не меньше, чем 2. Какое наименьшее число может стоять на 96-м месте?

4.2. В треугольнике АВС: ∠А = 45°, ∠В = 15°. На луче АС отмечена точка М так, что СМ = 2АС. Найдите угол АМВ.

4.3. Натуральные числа а и b таковы, что их сумма является произведением двух различных простых чисел. Докажите, что а³ + b³ не является точным квадратом.

Результаты регаты: