Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)
7 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов). 1.1. Сравните числа: и 1. Обоснуйте ответ. 1.2. Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого длины рёбер – натуральные числа, площадь поверхности – квадрат натурального числа, а объём – простое число? 1.3. Известно, что число aba делится на 13. Делится ли на 13 число bab? Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов). 2.1. Из пункта А в пункт B одновременно по двум разным дорогам выезжают два автомобиля.
Если первый поедет с постоянной скоростью v, то второй должен ехать со скоростью на 25 км/ч большей, чтобы одновременно с первым приехать в B.
Если же второй поедет с постоянной скоростью v, то первый должен ехать со скоростью на 20 км/ч меньшей, чтобы приехать в B одновременно со вторым. Найдите скорость v. 2.2. В треугольнике АВС проведена медиана AD, ∠ADB = 45°, ∠CAD = 15°. Найдите угол ВАD. 2.3. Несколько семиклассников решали задачи. Учитель не помнит, сколько было детей и кто из них сколько задач решил.
Зато он помнит, что, с одной стороны, каждый решил больше, чем одну пятую от того, что решили остальные, а с другой стороны, каждый решил меньше, чем треть от того, что решили остальные.
Сколько могло быть семиклассников? Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов). 3.1. Сумма чисел а, b и с равна 2024. Известно, что числа a – 1, b + 1 и с2 – это та же тройка чисел (в каком-то порядке).
Найдите а, b и с. 3.2. В квадрате АВСD на стороне CD отмечена такая точка K, что угол ABK равен 75°.
На отрезке BK отмечена такая точка М, что угол DMK равен 45°. Найдите сторону квадрата, если DM = 2. 3.3. Докажите, что если сумма целых чисел n, m и k не делится на 3, то
значение выражения (n – m)3 + (m – k)3 + (k – n)3 делится на 9. Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов). 4.1. Известно, что a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1.
Найдите значение выражения a4 + b4 + c4. 4.2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Найдите угол между прямыми АВ и CD. 4.3. При дворе – 50 мушкетёров. Каждый день они разбиваются на пары и проводят тренировочные поединки. Никакие два мушкетёра не бились друг с другом дважды.
Обязательно ли спустя 24 дня найдутся 3 мушкетёра, которые не сражались друг с другом? Результаты регаты:
Команда
1 тур
2 тур
3 тур
4 тур
Сумма
Диплом
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Л 2 Ш Г
6
6
6
7
0
7
2
7
7
8
8
8
72
I
Л 2 Ш Д
6
6
6
7
0
7
7
7
7
8
3
7
71
I
В Г Г
6
6
6
7
0
7
7
7
7
0
0
8
61
II
2 0 0 7 А
6
6
6
7
0
7
3
7
7
8
0
0
57
II
1 7 9 А
6
6
6
7
7
7
7
0
0
0
1
8
55
II
Ф М Ш К Тюмень
6
6
6
7
1
7
7
1
7
1
5
54
II
Киров Г
6
6
6
7
0
7
7
0
0
8
1
0
48
III
В Г В
6
6
6
7
3
7
7
0
0
0
0
5
47
III
Чуйкова А
6
6
6
7
0
7
7
0
1
6
1
0
47
III
2 0 0 7 Е
6
6
6
7
0
7
7
0
6
0
1
0
46
III
Е М Ц Д Казань
6
6
6
7
0
7
7
3
0
2
1
0
45
III
1 7 9 Б
6
6
6
4
0
3
3
0
4
0
1
8
41
ПП
1 5 6 8 Ж
6
6
6
7
0
1
7
0
0
8
0
0
41
ПП
Е М Ц Г Казань
6
6
6
7
0
0
7
0
7
1
1
0
41
ПП
Ф М Ш З Тюмень
6
3
0
7
0
3
7
7
0
0
8
41
ПП
Летово Д
6
6
6
7
0
5
7
1
1
1
0
0
40
ПП
Летово Ж
6
6
6
4
0
1
7
1
1
0
0
8
40
ПП
Раз-Два-Три А
6
6
6
7
0
3
3
1
0
3
1
4
40
ПП
5 Г Долгопрудный
6
6
0
7
0
3
7
1
0
8
1
0
39
4 4 4 А
6
6
6
7
0
1
7
3
1
0
1
0
38
Киров Д
6
6
6
0
0
7
5
0
0
8
0
0
38
ФТЛ Ж Долгопрудный
7
0
7
7
0
8
1
8
38
5 В Долгопрудный
6
6
6
4
0
7
7
0
0
0
1
0
37
В Г Б
6
6
6
7
0
7
3
0
0
0
1
0
36
К П М А
6
0
6
7
0
1
7
1
7
0
1
0
36
1 5 5 7 Б
6
6
6
0
0
7
0
0
1
8
1
0
35
1 5 6 8 А
6
0
6
7
0
7
7
1
0
0
1
0
35
Л 2 Ш И
6
6
6
7
0
0
3
0
6
0
0
0
34
1 5 6 8 Г
6
3
6
7
0
7
3
0
0
0
0
0
32
1 5 6 8 Л
6
6
6
7
1
1
3
0
0
1
1
0
32
Интеллектуал В
6
6
0
4
0
0
7
1
0
0
0
8
32
Л 2 Ш А
6
1
6
7
1
7
3
1
0
0
0
0
32
Пенза В
6
6
6
7
0
0
7
0
0
0
0
0
32
Ф М Ш И Тюмень
6
6
6
7
0
0
7
0
0
0
0
0
32
Е М Ц Б Казань
6
6
6
4
0
0
0
1
0
8
0
0
31
Пенза Б
6
6
5
7
0
0
7
0
0
0
0
0
31
Ф М Ш Е Тюмень
6
6
6
7
0
0
3
0
1
0
0
0
29
Летово Б
6
1
6
7
0
5
3
0
0
0
0
28
2 0 0 7 Ж
6
3
0
4
0
0
7
0
7
0
0
0
27
2 0 0 7 З
6
0
6
7
1
0
7
0
0
0
0
0
27
Л Н И П А Королёв
6
6
6
7
0
0
2
0
0
0
0
0
27
5 7 А
6
6
0
7
0
0
2
0
0
0
1
0
22
4 4 4 Б
6
1
0
7
0
0
3
0
0
0
0
4
21
17 Б Кострома
6
1
0
7
0
0
5
0
0
0
1
0
20
Е М Ц Ж Казань
6
1
0
4
0
0
7
0
0
0
1
0
19
Ф Т Ш А СПб
6
0
6
0
0
0
7
0
0
0
0
0
19
2 А Саров
6
0
0
4
0
0
7
0
0
0
0
0
17
5 4 8 Г
6
1
6
0
0
0
2
0
0
2
0
0
17
5 4 8 И
6
0
0
7
0
0
3
1
0
0
0
0
17
5 4 8 З
6
1
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
14
1 5 8 0 Б
6
1
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
14
1 3 2 9 Г
0
0
0
0
0
7
3
1
0
1
0
0
12
2 1 2 0 А
3
0
0
0
0
0
7
1
0
0
0
0
11
2 1 2 0 Б
6
0
-1
4
0
0
2
0
0
0
0
0
11
2 1 2 0 В
6
0
0
0
0
1
3
0
0
0
1
0
11
1 5 3 7 В
6
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
9
Н Ш А
0
0
6
0
0
0
3
0
0
0
0
0
9
2 0 7 0 З
6
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
8
1 5 8 0 В
6
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
7
5 4 8 Ж
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
2 0 9 8 Г
0
0
0
0
0
1
3
1
0
0
1
0
6
2 0 9 8 Д
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
1 5 1 2 А
0
0
0
0
0
3
1
0
0
0
0
4
2 0 1 Б
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2 0 7 0 Е
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
3
2 0 1 А
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2 0 2 6 А
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0