Математическая регата 7 классов 18.05.2023

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

7 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Сравните числа: и 1. Обоснуйте ответ.

1.2. Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого длины рёбер – натуральные числа, площадь поверхности – квадрат натурального числа, а объём – простое число?

1.3. Известно, что число aba делится на 13. Делится ли на 13 число bab?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Из пункта А в пункт B одновременно по двум разным дорогам выезжают два автомобиля. Если первый поедет с постоянной скоростью v, то второй должен ехать со скоростью на 25 км/ч большей, чтобы одновременно с первым приехать в B. Если же второй поедет с постоянной скоростью v, то первый должен ехать со скоростью на 20 км/ч меньшей, чтобы приехать в B одновременно со вторым. Найдите скорость v.

2.2. В треугольнике АВС проведена медиана AD, ∠ADB = 45°, ∠CAD = 15°. Найдите угол ВАD.

2.3. Несколько семиклассников решали задачи. Учитель не помнит, сколько было детей и кто из них сколько задач решил. Зато он помнит, что, с одной стороны, каждый решил больше, чем одну пятую от того, что решили остальные, а с другой стороны, каждый решил меньше, чем треть от того, что решили остальные. Сколько могло быть семиклассников?

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. Сумма чисел а, b и с равна 2024. Известно, что числа a – 1, b + 1 и с2 – это та же тройка чисел (в каком-то порядке). Найдите а, b и с.

3.2. В квадрате АВСD на стороне CD отмечена такая точка K, что угол ABK равен 75°. На отрезке BK отмечена такая точка М, что угол DMK равен 45°. Найдите сторону квадрата, если DM = 2.

3.3. Докажите, что если сумма целых чисел n, m и k не делится на 3, то значение выражения (n – m)3 + (m – k)3 + (k – n)3 делится на 9.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Известно, что a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1. Найдите значение выражения a4 + b4 + c4.

4.2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Найдите угол между прямыми АВ и CD.

4.3. При дворе – 50 мушкетёров. Каждый день они разбиваются на пары и проводят тренировочные поединки. Никакие два мушкетёра не бились друг с другом дважды. Обязательно ли спустя 24 дня найдутся 3 мушкетёра, которые не сражались друг с другом?

Результаты регаты:

Команда 1 тур 2 тур 3 тур 4 тур Сумма Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Л 2 Ш   Г 6 6 6 7 0 7 2 7 7 8 8 8 72 I
Л 2 Ш   Д 6 6 6 7 0 7 7 7 7 8 3 7 71 I
В Г   Г 6 6 6 7 0 7 7 7 7 0 0 8 61 II
2 0 0 7 А 6 6 6 7 0 7 3 7 7 8 0 0 57 II
1 7 9 А 6 6 6 7 7 7 7 0 0 0 1 8 55 II
Ф М Ш К Тюмень 6 6 6 7 1 7 7 1 7 1 5 54 II
Киров   Г 6 6 6 7 0 7 7 0 0 8 1 0 48 III
В Г   В 6 6 6 7 3 7 7 0 0 0 0 5 47 III
Чуйкова   А 6 6 6 7 0 7 7 0 1 6 1 0 47 III
2 0 0 7 Е 6 6 6 7 0 7 7 0 6 0 1 0 46 III
Е М Ц  Д Казань 6 6 6 7 0 7 7 3 0 2 1 0 45 III
1 7 9 Б 6 6 6 4 0 3 3 0 4 0 1 8 41 ПП
1 5 6 8 Ж 6 6 6 7 0 1 7 0 0 8 0 0 41 ПП
Е М Ц  Г Казань 6 6 6 7 0 0 7 0 7 1 1 0 41 ПП
Ф М Ш З Тюмень 6 3 0 7 0 3 7 7 0 0 8 41 ПП
Летово   Д 6 6 6 7 0 5 7 1 1 1 0 0 40 ПП
Летово   Ж 6 6 6 4 0 1 7 1 1 0 0 8 40 ПП
Раз-Два-Три А 6 6 6 7 0 3 3 1 0 3 1 4 40 ПП
5 Г Долгопрудный 6 6 0 7 0 3 7 1 0 8 1 0 39
4 4 4 А 6 6 6 7 0 1 7 3 1 0 1 0 38
Киров   Д 6 6 6 0 0 7 5 0 0 8 0 0 38
ФТЛ Ж Долгопрудный 7 0 7 7 0 8 1 8 38
5 В Долгопрудный 6 6 6 4 0 7 7 0 0 0 1 0 37
В Г   Б 6 6 6 7 0 7 3 0 0 0 1 0 36
К П М   А 6 0 6 7 0 1 7 1 7 0 1 0 36
1 5 5 7 Б 6 6 6 0 0 7 0 0 1 8 1 0 35
1 5 6 8 А 6 0 6 7 0 7 7 1 0 0 1 0 35
Л 2 Ш   И 6 6 6 7 0 0 3 0 6 0 0 0 34
1 5 6 8 Г 6 3 6 7 0 7 3 0 0 0 0 0 32
1 5 6 8 Л 6 6 6 7 1 1 3 0 0 1 1 0 32
Интеллектуал В 6 6 0 4 0 0 7 1 0 0 0 8 32
Л 2 Ш   А 6 1 6 7 1 7 3 1 0 0 0 0 32
Пенза   В 6 6 6 7 0 0 7 0 0 0 0 0 32
Ф М Ш И Тюмень 6 6 6 7 0 0 7 0 0 0 0 0 32
Е М Ц  Б Казань 6 6 6 4 0 0 0 1 0 8 0 0 31
Пенза   Б 6 6 5 7 0 0 7 0 0 0 0 0 31
Ф М Ш Е Тюмень 6 6 6 7 0 0 3 0 1 0 0 0 29
Летово   Б 6 1 6 7 0 5 3 0 0 0 0 28
2 0 0 7 Ж 6 3 0 4 0 0 7 0 7 0 0 0 27
2 0 0 7 З 6 0 6 7 1 0 7 0 0 0 0 0 27
Л Н И П А Королёв 6 6 6 7 0 0 2 0 0 0 0 0 27
5  7   А 6 6 0 7 0 0 2 0 0 0 1 0 22
4 4 4 Б 6 1 0 7 0 0 3 0 0 0 0 4 21
17 Б Кострома 6 1 0 7 0 0 5 0 0 0 1 0 20
Е М Ц  Ж Казань 6 1 0 4 0 0 7 0 0 0 1 0 19
Ф Т Ш А СПб 6 0 6 0 0 0 7 0 0 0 0 0 19
2 А Саров 6 0 0 4 0 0 7 0 0 0 0 0 17
5 4 8 Г 6 1 6 0 0 0 2 0 0 2 0 0 17
5 4 8 И 6 0 0 7 0 0 3 1 0 0 0 0 17
5 4 8 З 6 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 14
1 5 8 0 Б 6 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 14
1 3 2 9 Г 0 0 0 0 0 7 3 1 0 1 0 0 12
2 1 2 0 А 3 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 11
2 1 2 0 Б 6 0 -1 4 0 0 2 0 0 0 0 0 11
2 1 2 0 В 6 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 11
1 5 3 7 В 6 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 9
Н Ш   А 0 0 6 0 0 0 3 0 0 0 0 0 9
2 0 7 0 З 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 8
1 5 8 0 В 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7
5 4 8 Ж 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
2 0 9 8 Г 0 0 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 6
2 0 9 8 Д 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
1 5 1 2 А 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 4
2 0 1 Б 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
2 0 7 0 Е 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 3
2 0 1 А 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2 0 2 6 А 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rambler's Top100 Rambler's Top100