Математическая регата 9 классов 14.10.2023

1.1. Какое наименьшее натуральное число надо прибавить к сумме 3¹³ + 9¹³, чтобы получить квадрат натурального числа?

1.2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена медиана AM. Может ли выполняться равенство AB = 2AM?

1.3. Решите в целых числах систему уравнений:

2.1. Для положительных чисел a и b выполняется неравенство a – b > 4. Докажите, что тогда выполняется неравенство .

2.2. Через точку А окружности с центром О проведена касательная, а через точку В, также лежащую на окружности, проведен луч ОВ, пересекающий эту касательную в точке Е. Из точки А опущен перпендикуляр АС на ОВ, а из точки В – перпендикуляр BD на АЕ. Докажите, что ВС = BD.

2.3. На острове проживает 2024 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду), либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый сказал: «Он – рыцарь!» либо «Он – лжец!» про своего соседа по паре. Оказалось, что тех и других фраз произнесено поровну. Какое наименьшее количество лжецов может жить на острове?

3.1. Сколько отрицательных корней имеет уравнение: x⁴ – 5x³ – 4x² – 7x + 4 = 0?

3.2. В треугольнике АВС отрезки АМ и СР являются биссектрисами углов А и С соответственно, причём АР + СМ = АС. Найдите величину угла В.

3.3. На доске записаны в ряд квадраты натуральных чисел в возрастающем порядке так, что разность любых двух соседних чисел – простое число или квадрат простого числа. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?

4.1. Известно, что для положительных x, y и z выполняются равенства: xy = z + a, yz = x + a, zx = y + a. Какие значения может принимать a?

4.2. От прямоугольника со сторонами 7 и 10 клеток отрезали два прямоугольных треугольника с катетами 2 и 3 клетки (см. рисунок). Разрежьте получившийся шестиугольник на две части и сложите из них квадрат.

4.3. На конференцию приехали 200 учёных. Двое из них знают по 21 участнику конференции, ещё двое – по 22, ещё двое – по 23 и так далее, а последние двое – по 120. Может ли оказаться, что их можно посадить в два актовых зала так, чтобы в каждом зале были только незнакомые друг с другом?

5.1. Разложите на множители, каждый из которых имеет степень не выше двух: x⁴ + y⁴ + (x + y)⁴.

5.2. Существует ли треугольник, в котором окружность, построенная на стороне как на диаметре, касается окружности, проходящей через середины его сторон?

5.3. Существует ли десятизначное число, кратное 7, все цифры в десятичной записи которого различны?

Результаты регаты: