Математическая регата 10 классов 1.03.2025

1.1. Сравните: 2025²⁰²⁵ + 2024²⁰²⁴ и 2025²⁰²⁴ + 2024²⁰²⁵.

1.2. Существует ли четырёхугольник, у которого сумма диагоналей меньше любой его стороны?

1.3. Может ли сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел оказаться равной 20000025?

2.1. Решите уравнение: ­­

2.2. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей АС и ВD равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания ВС и боковой стороны АВ. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

2.3. Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр любого кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент, причём так, чтобы расстояние до точки O увеличивалось. Сколькими способами кузнечик сможет допрыгать до углового кубика, противоположного исходному?

3.1. На координатной плоскости постройте множество точек, удовлетворяющих неравенству y² + y ≥ |x| + x – 1.

3.2. Окружность, вписанную в равнобедренный треугольник, перенесли параллельно его основанию на расстояние, равное её радиусу. Докажите, что в таком положении она касается окружности, описанной около данного треугольника.

3.3. На клетчатой плоскости отмечены 100 узлов, не лежащие на одной прямой. Докажите, что из них можно выбрать два узла X и Y, не лежащие на одной линии сетки, так, чтобы прямоугольник с диагональю XY и сторонами, параллельными линиям сетки, содержал не менее, чем 20 отмеченных узлов.

4.1. Пусть а, b и с – такие действительные числа, отличные от нуля, что (ab + bc + ca)³ = abc(a + b + c)³. Докажите, что а, b и с в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию.

4.2. В тетраэдре ABCD грани АВС и ADC перпендикулярны, АВ = ВС = CD, BD = AC. Найдите угол между плоскостями АВD и ACD.

4.3. Хромая ладья ходит на соседнюю по стороне клетку. Пусть количество способов обойти всю шахматную доску хромой ладьёй (побывав на каждой клетке ровно по одному разу), если начало пути в клетке a1, равно A. Количество способов аналогично обойти всю шахматную доску хромой ладьёй, если начало пути в клетке b2, равно B. Докажите, что A > B.

5.1. Пусть P(x) – квадратный трехчлен. Верно ли, что всегда можно найти такой многочлен четвертой степени Q(x), что уравнение P(Q(x)) = 0 не имеет действительных корней?

5.2. М – точка пересечения медиан прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С. Может ли угол АМВ быть не больше, чем 135°?

5.3. Найдите остаток от деления 3¹⁰⁵ + 5¹⁰⁰ на 28.

Результаты регаты: