Математическая регата 8 классов 18.01.2025

1.1. Даны 10 последовательных натуральных чисел. Сумма первых четырех равна 46. Чему равна сумма последних четырех?

1.2. На плоскости провели n прямых. При каком наименьшем n они могут иметь n + 1 точку пересечения?

1.3. В квадрате 5×5 отметьте пять клеток так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была отмечена ровно одна клетка, а при сгибании квадрата по одной из главных диагоналей на линии сгиба и на четырех диагоналях, ей параллельных, также оказалось ровно по одной отмеченной клетке.

2.1. Съев на пустой желудок трёх поросят и семерых козлят, Серый Волк всё ещё страдал от голода. В другой раз он съел на пустой желудок таких же 7 поросят и козлёнка и страдал уже от обжорства. От чего будет страдать Волк, если съест на пустой желудок 11 таких же козлят?

2.2. Точка M – середина стороны AD квадрата ABCD. На сторонах АВ и CD отмечены точки Е и F соответственно так, что EF⊥CM. Оказалось, что МЕ – биссектриса угла АМС. Докажите, что MF – биссектриса угла CMD.

2.3. Сумма трёх трёхзначных чисел, составленных из девяти цифр, кроме нуля, взятых по одному разу, равна 1665. В каждом из чисел поменяли местами первую и последнюю цифру. Докажите, что сумма получившихся чисел также равна 1665.

3.1. Решите уравнение:

3.2. Треугольник ABC – равнобедренный, ∠B = 120°. На стороне AC отмечена такая точка M, что AM : MC = 1 : 2. Найдите угол MBC.

3.3. Есть набор грузов общей массой 9 тонн, причем каждый груз весит не более одной тонны. Эти грузы нужно перевезти на машинах, каждая из которых может перевозить суммарную массу не более трёх тонн. Какого наименьшего количества машин заведомо будет достаточно?

4.1. Найдите значение выражения

4.2. Пусть CH – высота остроугольного треугольника ABC, O – центр описанной около него окружности. Точка T – проекция вершины C на прямую AO. Докажите, что прямая TH делит сторону BC пополам.

4.3. В десятичной записи 101-значного числа есть только единицы и двойки. Докажите, что можно вычеркнуть одну цифру так, чтобы получившееся 100-значное число делилось на 11.

Результаты регаты: