Математическая регата 10 классов 28.02.2026

1.1. Решите уравнение: (x² + x + 1)² = 3(x⁴ + x² + 1).

1.2. Существует ли многогранник с пятью вершинами, у которого столько же граней, сколько у куба?

1.3. Решите уравнение: n! = n³ – n.

2.1. Изобразите на плоскости множество точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют уравнению: sin²x + cos²у = 1.­­

2.2. Через точку K, лежащую внутри трапеции ABCD, проведена прямая, пересекающая основания BC и AD в точках P и Q соответственно. Пусть окружности, описанные около треугольников BPK и DQK, пересекаются, кроме точки K, ещё и в точке L. Докажите, что точка L лежит на диагонали BD.

2.3. В стране десять аэропортов, из каждого есть прямые рейсы ровно в три других аэропорта. Может ли оказаться так, что из каждого аэропорта можно долететь до любого другого не более чем с одной пересадкой?

3.1. Известно, что графики функций y = 2х² – 2х – 1 и y = – 5х² + 2х + 3 пересекаются в двух точках. Найдите уравнение прямой, проходящей через эти точки.

3.2. Внутри квадрата ABCD отмечена точка М так, что угол МАВ равен 25°, а угол МСВ равен 20°. Найдите угол MDA.

3.3. Доступ к сейфу имеют семь членов комиссии. Требуется установить несколько кодовых замков на сейфе и сообщить каждому члену комиссии коды от некоторых из них так, чтобы любые четыре члена комиссии, собравшись вместе, смогли открыть сейф, а никакие трое вместе не смогли бы этого сделать. Каким наименьшим количеством замков следует снабдить сейф?

4.1. Решите систему уравнений:

4.2. Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделили на 9 равных частей, провели отрезки и раскрасили так, как показано на рисунке. Докажите, что равны суммы площадей чёрных и серых частей.

4.3. Есть несколько шаров разного цвета и размера, на каждом из которых записано положительное число. Каждое утро от каждого числа на шаре отнимают среднее арифметическое чисел на шарах того же цвета, а каждый вечер – среднее арифметическое чисел на шарах того же размера (в обоих случаях число на самом шаре также учитывается при подсчёте среднего). Докажите, что наступит утро, в которое все числа изменятся не более чем на единицу.

5.1. Найдите все пары (х; у) действительных чисел, удовлетворяющие равенству:

5.2. Основание D биссектрисы треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки BD = √3 и CD = 1. Угол АВС равен 30°. Найдите АС.

5.3. Найдите все тройки (x; y; z) целых чисел, для которых 2^x + 4^y + 8^z = 328.

Результаты регаты: