XXV Турнир имени М. В. Ломоносова

1 октября 2000 года

Отчёт

МЦНМО
МОСКВА 2001

Условия задач осеннего тура 22 Международного математического турнира городов 2000 г.

Тренировочный вариант 22 октября 2000 г., 8-9 кл.

Задача 1. (3 очка)
В клетках таблицы 4*4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.
Р. Г. Женодаров

Задача 2. (3 очка)
Дано: ABCD - параллелограмм, M - середина стороны CD, H - основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую AM. Докажите, что треугольник BCH - равнобедренный.
М. Волчкевич

Задача 3. (2+4 очка)
а) (2) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать 8 чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких 9 из выписанных на доске чисел.
б) (4) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.
А. В. Шаповалов

Задача 4. (5 очков)
Известно, что в наборе из 32 одинаковых по виду монет есть две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу друг другу, и фальшивые монеты также равны по весу друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более 4 взвешиваний на чашечных весах без гирь?
А. В. Шаповалов

Основной вариант 29 октября 2000 г., 8-9 кл.

Задача 1. (3 очка)
Дана таблица n*n, в каждой клетке записано число, причем все числа в таблице различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа.
В. Клепцын

Задача 2. (3 очка)
Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина - на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку, и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.
Р. К. Гордин

Задача 3. (4 очка)
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a+b+c+d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
В. Сендеров

Задача 4. (4 очка)
Рассматривается шахматная доска 8*8, клетки которой пока не окрашены. Сколькими способами можно раскрасить доску в черный и белый цвета так, чтобы черных клеток было 31 и никакие две черные клетки не имели общей стороны? (Укажите число способов и докажите, что учтены все способы; два способа раскраски считаются различными, если найдется клетка, которая при одном из этих способах раскраски белая, а при другом - чёрная).
Р. Г. Женодаров

Задача 5. (6 очков)
На правой чаше чашечных весов лежит груз 11111 г. Весовщик последовательно раскладывает по чашам гири, первая из которых имеет массу 1 г, а каждая последующая вдвое тяжелее предыдущей. В какой-то момент весы оказались в равновесии. На какую чашу поставлена гиря 16 г?
А. В. Калинин

Задача 6. (7 очков)
В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено 6 задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все 6 задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре? (Назовите это число, покажите, что при названном Вами числе участников условие задачи может быть выполнено, и что при меньшем числе участников оно не выполнимо.)
Р. Г. Женодаров

Задача 7. (8 очков)
У первоклассника имеется сто карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, а также большой запас знаков "+" и "=". Какое наибольшее число верных равенств он может составить? (Каждая карточка используется не более одного раза, в каждом равенстве может быть только один знак "=", переворачивать карточки и прикладывать их для получения новых чисел нельзя.)
Р. Г. Женодаров

Тренировочный вариант 22 октября 2000 г., 10-11 кл.

Задача 1. (3 очка)
Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку A проведены хорды, пересекающие сторону BC в точках K и L и дугу BC в точках M и N. Докажите, что если вокруг четырёхугольника KLNM можно описать окружность, то треугольник ABC - равнобедренный. В. Жгун

Задача 2. (3 очка)
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ad-bc>1. Докажите, что хотя бы одно из чисел a, b, c, d не делится на ad-bc.
А. В. Спивак

Задача 3. (4 очка)
В каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол f (среди углов этой грани). Найдите все возможные значения f.
А. В. Шаповалов

Задача 4. (3+2 очка)
Известно, что в наборе из
а) (3) 32
б) (2) 22 одинаковых по виду монет есть две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу друг другу, и фальшивые монеты также равны по весу друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более 4 взвешиваний на чашечных весах без гирь?
А. В. Шаповалов

Основной вариант 29 октября 2000 г., 10-11 кл.

Задача 1. (3 очка)
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a+b+c+d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
В. Сендеров

Задача 2. (4 очка)
Для какого наибольшего n можно выбрать на поверхности куба n точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) n-угольника.
А. В. Шаповалов

Задача 3. (4 очка)
Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c (AB=c, BC=a, CA=b и a<b<c). На лучах BC и AC отмечены соответственно точки B₁ и A₁ такие, что BB₁=AA₁=c. На лучах CA и BA отмечены соответственно точки C₂ и B₂ такие, что CC₂=BB₂=a. Найти отношение отрезка A₁B₁ к отрезку C₂B₂.
Р. Г. Женодаров

Задача 4. (3+4 очка)
Пусть целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

	1
a1 +										=	x
		1
	a2 +
			1
		a3 +
				1
			... +
					1
				an +
					x

выполнено при всех значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
а) (3) Докажите, что число n чётно.
б) (4) При каком наименьшем n такие числа существуют?
М. Скопенков

Задача 5. (6 очка)

Клетки доски m*n покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.
А. В. Шаповалов

Задача 6. (5+5+5 очков)
а) (5) Несколько черных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздем толщины 0,1 см. Образовалась многоугольная черная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше, чем 1 км ? (Гвоздь не задевает границ квадратов.)
б) (5) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть точка).
в) (5) Несколько черных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную черную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к ее площади быть больше 100000 ?
Венгерский фольклор