29 сентября 2002 года
Задания. Решения. Комментарии
МЦНМО
МОСКВА 2003
Вопросы и комментарии подготовил д. ф.-м. н. Андрей Михайлович Романов - главный специалист Отделения физических наук Российской академии наук (romanov@gpad.ac.ru).
Отвечайте на любые из предложенных вопросов, которые Вам интересны. Достаточно дать правильные ответы на 4 вопроса. Больше - можно. При подведении итогов будут учтены количество правильных ответов, их полнота и Ваш класс (возраст).
1. На флагах каких стран можно увидеть созвездия? Какие страны (а их очень много!) имеют на своих флагах иную астрономическую символику? А на чьём флаге изображена двоичная система исчисления?
2. Предложите наиболее простой способ измерения высоты (с ошибкой не более 10%) Главного здания МГУ на Воробьёвых горах (или, если вы никогда не видели Главное здание МГУ, любого другого высотного здания). Предложите наибольшее число способов измерения высоты здания, основанных на разных физических принципах. Попробуйте сопоставить точность разных методов.
3. Если Земля круглая, то почему же мы этого в повседневной жизни, как правило, не замечаем? Как проще всего "увидеть" закругление земного шара? Можно ли заглянуть за горизонт? Далеко ли горизонт на других планетах?
4. Около Новой Зеландии есть острова Антиподов. Чем они так знамениты, что острова назвали в их честь, и где ещё эти самые антиподы встречаются?
5. Говорят: "ах, космические скорости!" А с какими небесными телами Вы сами могли бы посоревноваться в скорости или даже их обогнать?
6. Какими "астрономическими" единицами и системами счёта мы постоянно пользуемся в повседневной жизни? Какая денежная система, основанная на астрономических принципах, просуществовала до 2002 года?
7. М. В. Ломоносов, "Утреннее размышление о Божием величии" (1743 год):
"...Когда бы смертным столь высоко
Возможно было возлететь,
Чтоб к солнцу наше бренно око
Могло, приближившись, воззреть,
Тогда б со всех открылся стран
Горящий вечно Океан.
Там огненны валы стремятся
И не находят берегов;
Там вихри пламенны крутятся,
Борющись множество веков;
Там камни, как вода, кипят,
Горящи там дожди шумят..."
А почему Солнце бурлит? Согласны ли Вы с Ломоносовым?
8. Собирающее свойство линзы было известно ещё древним; шлифовка очковых линз известна в Европе не позднее 1280 года; и даже покровитель учёных св. Иероним (348-420) обычно изображается читающим в очках. Почему же для изобретения телескопа потребовалось ещё более 300 лет? Почему Галилей верил и настаивал, что его астрономические открытия - реальность, в то время как все прочие думали, что это просто оптический обман ("втирание очков")? Почему, увидев 7 января 1610 г. "свиту" Юпитера, он опубликовал своё открытие сразу же и самым широким образом, а вот результаты наблюдений Сатурна скрыл за анаграммой, которую много лет не расшифровывал? Тем не менее, так и не разгадав этой небесной загадки, он сделал о Сатурне удачное предсказание. Какое же?
9. "Есть ли жизнь на Марсе, нет ли жизни на Марсе, - наука не в курсе дела". Когда и кем это сказано? Что изменилось по существу к настоящему времени? Из песни: "Утверждают космонавты и мечтатели, что на Марсе будут яблони цвести". Как Вы полагаете, будут?
10. Вы получили "загадочную" шифровку в виде анаграммы: /SMVEMAJSUNPKO/. Сможете её прочитать?
К сожалению, многие участники Турнира всё-таки путали созвездия и "звёздочки": первое - это изображения (более или менее правдоподобные) реально наблюдаемых конфигураций звёзд на небе, а второе - условные наборы разного числа геометрических символов, прямого отношения к небу не имеющих.
Созвездия изображены на флагах всего нескольких стран мира. Наиболее "богатая" россыпь представлена на флаге Бразилии, где изображено целое небесное полушарие. Созвездие Южный Крест включено в государственные флаги южных английских доминионов: Австралии и Новой Зеландии. По соседству ещё три государства имеют его на своём флаге: Папуа Новая Гвинея, Самоа и Микронезия. Наконец, интересно упомянуть и такое известное и красивое созвездие, как Большая Медведица; оно тоже поместилось на флаге, правда не совсем государства, а всего лишь одного из штатов США - Аляска.
Самых разнообразных "звёздочек" на флагах действительно очень много. Например, 1 звезду имеют следующие страны: Вьетнам, Израиль, Иордания, КНДР, Гана, Буркина-Фасо, Гвинея-Бисау, Джибути, Зимбабве, Камерун, Либерия, Марокко, Мозамбик, Сенегал, Сомали, Того, ЦАР, Эфиопия, Куба, Суринам, Чили, Маршалловы острова, Науру. Несколько звезд поместились на флагах государств: Босния и Герцоговина, Словения, Ирак, Китай, Мьянма, Сирия, Таджикистан, Бурунди, Кабо-Верде, ДР Конго, Сан-Томе и Принсипи, Гондурас, Гренада, Доминика, Панама, Сент Китс Невис, США, Венесуэла, Соломоновы острова, Тувалу.
"Иная астрономическая символика" - это, конечно, прежде всего Солнце, которое можно увидеть на следующих флагах: Македония, Бангладеш, Индия, Казахстан, Киргизия, Лаос, Япония, Намибия, Нигер, Аргентина, Уругвай, Палау; а Солнце в компании со звёздами - на флаге Филиппин. На флагах некоторых стран изображён восход солнца: Малави, Антигуа и Барбуда, Карибати.
В странах мусульманского мира на государственных флагах традиционно присутствует полумесяц, как символ ислама. Причём наблюдаются и определенные особенности в его положении, например, он может быть изображён стоймя (Мальдивы), или наклонно (Пакистан), наконец, лёжа (Мавритания, Непал; но это уже скорее ложе Будды, чем символ ислама). Месяц на флагах присутствует и в компании со звёздами: например, с одной (Турция, Азербайджан, Алжир, Тунис, Малайзия), или с несколькими, причём стоймя (Сингапур, Узбекистан).
Наверное жаль, что ни одно государство мира не поместило на свой флаг никаких изображений редких астрономических объектов, например, комет. Но зато эрудиты среди турломовцев не забыли упомянуть даже свастику - древнейший (более 5000 лет) символ Солнца и смены времён года, - символ, присутствовавший во всех индоевропейских культурах.
По поводу двоичной системы возникло, видимо, определённое замешательство. Всего 2 участника правильно ответили на эту часть вопроса, а именно, что она изображена на флаге Кореи. Действительно, в центре корейского флага помещён круг, разделённый на две взаимодополняющие и взаимопроникающие половины "инь" и "ян". Они символизируют вечную борьбу и неразрывное единство двух противоположных начал (сущностей), которые можно выделить в любых явлениях природы. Эти представления лежат в основе философии и религии даосизма, распространённой во всех странах Дальнего Востока, прежде всего в Китае. Кроме центрального символа, по краям корейского флага изображены характерные чёрточки, целые или разделённые пополам по системе (00, 01, 10, 11), что может служить прямым изображением именно двоичной системы счёта. Более полная система из 64 таких комбинаций из 6 чёрточек содержится в древнекитайской "Книге перемен".
Многие участники указывали на характерных вид флагов США, Греции и Уругвая, фон которых состоит из чередующихся белых и цветных полос (как на матрасе). В некотором приближении их тоже можно принять за изображение меандра или системы вида 01010101...
Типичные ошибки.
- На флаге СССР можно увидеть созвездие.
- Флаги почти всех стран Британского королевского союза.
- Клетчатый флаг на финише: чёрный - 0, белый - 1.
- Израиль - полумесяц.
- На флаге США можно обнаружить много созвездий.
Нетривиальные версии.
- Двоичная система мусульманских стран - звезда и лунный серп.
- На флаге России - орёл с двумя головами.
- Двоичная система исчисления изображена на флаге Всемирной ассоциации программистов (?)
- На флаге Бразилии изображено звёздное небо в день принятия независимости.
- На флаге футбольной команды "Сатурн-РенТВ" изображён Сатурн.
- На флагах присутствуют животные, а многие животные присутствуют в виде созвездий.
- На флаге Японии изображена звезда по имени Солнце.
- "Лучше, конечно, пять звёздочек".
Сама по себе задача об измерении высоты большого здания известна давно и существует в разных вариантах. Соответственно, и большинство обсуждаемых ниже способов также "не новы". Однако, именно Главное здание МГУ им. М. В. Ломоносова на Ленинских (Воробьёвых) горах существенно отличается от многих и многих иных высотных зданий. Соответственно, те, кто в данной задаче рассматривал "абстрактный небоскрёб" (типа WTC), неизбежно впадали в ошибки, скорее всего, превосходящие по своей величине требуемые в условии задачи 10% точности.
Все рассматриваемые способы условно можно разделить на геометрические и физические методы.
Наиболее часто в качестве самого простого геометрического способа предлагался такой: измерить высоту одного этажа, пересчитать все этажи и перемножить одно на другое. (Некоторые дотошные участники предлагали даже пересчитать все кирпичи). Но, во-первых, где гарантия, что высота разных этажей одинакова? (Для МГУ она точно разная). А во-вторых, ГЗ МГУ - не прямоугольный небоскреб, а пирамида сложной архитектурной формы, значительная часть которой вовсе не имеет этажей. Кроме верхнего шпиля, в ней имеются еще много других "внеэтажных" вставок. Только при условии высокой аккуратности в визуальных измерениях можно, наверное, определить данным способом высоту "равномерно-этажной" части здания, а затем сопоставить её с полной высотой и при этом не выйти за пределы заданной точности.
Не самый простой, но еще более распространённый способ - метод подобных треугольников, с помощью которого ещё Фалес, по преданию, измерил высоту египетских пирамид. Само подобие треугольников обеспечивается либо единой линией визирования на вершину шпиля и предмет известной высоты, либо по лини тени от Солнца. Как известно, для определения искомой высоты в большом треугольнике достаточно измерить основания в малом и большом треугольниках, а затем взять пропорцию относительно известной высоты малого треугольника. Метод, конечно, классический, можно надеяться, что не подведёт, но... Но опять-таки, в отличие от прямоугольного небоскрёба или любого иного отвесного обрыва в случае с пирамидой не ясно, как же измерить длину основания большого треугольника? Ведь её центральная точка (место на горизонтальной плоскости, куда проецируется её вершина) остаётся недоступной для нас. Если мы просто измерим расстояние до ближайшей стены ГЗ МГУ, то допустим большую ошибку, ведь вершина здания находится не только выше, но и дальше! (Некоторым облегчением данного противоречия может служить метод параллельного переноса измеряемого расстояния от ближайшей стенки до центра здания вбок от линии визирования, например, на параллельную улицу).
В случаях, когда нельзя измерить расстояния до основания объекта непосредственно, применяют метод треугольников на разном удалении. Не трудно заметить, что угол возвышения любого объекта уменьшается по мере нашего удаления от него. Таким образом, если измерить сначала угол возвышения шпиля ГЗ МГУ вблизи здания (но не подходя к нему вплотную), а затем - на большем удалении, и не забыть измерить то расстояние, на которое нам пришлось при этом "отодвинуться", то из системы двух треугольников с одной и той же высотой, но разными длинами, нетрудно получить формулу для искомой общей высоты. Данный метод вполне точен, хотя простым его, пожалуй, не назовёшь.
Близким по смыслу к рассмотренному является и метод горизонтальных параллаксов, тем более, что в астрономии метод параллаксов является основным методом измерения расстояний. Перемещаясь перпендикулярно направлению на интересующий нас объект, можно измерить, как меняется величина угла направления на него в зависимости от пройденного расстояния. Из треугольника, образованного двумя крайними положениями наблюдателя и верхней точкой здания, можно определить расстояние до неё по наклонной плоскости. А затем, измерив угол возвышения, наклонное расстояние уже можно перевести в высоту всего здания.
Очень близок к методу параллаксов и "чисто астрономический" метод определения высоты здания по суточному движению светил. Состоит он вкратце в следующем: если от высокого здания отойти на достаточное расстояние к северу, то светила в южной стороне неба, очевидно, будут двигаться на фоне здания с востока на запад почти горизонтально. Суточное движение светил, видимое нами, отражает, как известно, собственное вращение Земли вокруг своей оси со скоростью 1 оборот за 24 часа. Можно найти (подобрать) такую точку на горизонтальной поверхности, что какое-нибудь светило (яркая звезда или планета) окажутся точно на линии, соединяющей наблюдателя и верхний конец шпиля здания. Тогда, двигаясь по поверхности земли на восток, можно так подобрать скорость своего "вышагивания", что выбранная нами звезда будет постоянно визуально совмещена со шпилем. Наше перемещение на восток в данном случае будет вполне аналогично нашему "суточному вращению" вокруг верхнего конца шпиля здания. Соответственно, измерив скорость такого перемещения, нетрудно определить радиус нашей "суточной орбиты", т. е. расстояние до верхушки шпиля (а по нему и по углу возвышения шпиля над горизонтом - и искомую высоту здания). Данный метод "по звёздам" более точен для светил, выбранных около небесного экватора, т. к. звёзды на высоких склонениях движутся тем медленнее, чем они ближе к полюсу мира. Кроме этого, при вычислениях по Солнцу нужно брать продолжительность солнечных суток (24 часа), по звёздам - звёздных суток (23 ч 56 мин), а при использовании Луны нужно учитывать её собственное движение.
Наверное последним чисто геометрическим способом измерения высоты здания (или иного возвышенного места), который мы здесь упомянем, является измерение величины понижения видимого горизонта при поднятии наблюдателя на большую высоту. Очевидно, однако, что измеряемый эффект ввиду огромных размеров земного шара очень мал, и данный метод никак нельзя назвать простым. Не думаю, чтобы кто-нибудь из учащихся смог бы реализовать такие измерения с требуемой по условиям задачи точностью.
Из физических методов наиболее общеизвестным является способ, использующий свободное падение предметов и позволяющий вычислить высоту падения по времени полета. Однако, помимо учёта сопротивления воздуха (на таких высотах и скоростях падения оно будет уже оказывать существенное влияние на измерения), о котором упоминали немногие, самым главным препятствием для "бросания камушков с крыши" будет опять-таки факт "неудобной" формы здания и недоступности самой верхней точки шпиля для нашего с Вами её непосредственного посещения. Ведь если кто-то хочет измерить высоту падения по времени падения, то "ронять" камушек во избежание ошибок нужно с нулевой начальной скоростью. Со шпиля МГУ в таком случае до земли ни один "камушек" не долетит, а потеряется по пути где-то на промежуточных крышах. Некоторые участники Турнира предлагали со шпиля построить такой балкончик, чтобы он выступал за периметр всего здания, - ну это уж совсем маниловщина!
Отчасти преодолеть данное противоречие (недоступность центральной точки) можно, переведя процесс падения в процесс подбрасывания. Дело в том, что как раз недалеко от ГЗ МГУ в некоторые дни действительно случается "подбрасывание" предметов на высоту, даже несколько превышающую общую высоту всего здания. Во время государственных праздников минометы специального типа (именуемые также "салютницы") выстреливают вверх заряды фейерверка. Если установить (по техническим параметрам миномёта) скорость выстреливания заряда, то можно рассчитать высоту верхней точки его полета, а затем сравнивая залпы салюта со зданием ГЗ, прикинуть и его высоту. К сожалению, от этого метода трудно ожидать высокую точность результата.
Некоторые участники для измерения высоты здания предлагали использовать равномерное вертикальное движение. Многие упоминали лифт. В принципе такой подход также возможен, если известна скорость движения кабины лифта. Однако, во-первых, нужно помнить, что ни один лифт от земли до верхушки шпиля всё равно не ходит. Соответственно, это возвращает нас к методу измерения высоты здания "по частям". Во-вторых, движение скоростных лифтов на самом деле всегда очень неравномерное: они должны плавно разгоняться вначале и тормозиться в конце движения, а учесть эти эффекты аккуратно достаточно сложно.
Ряд школьников предлагал для реализации равномерного вертикального движения запустить рядом со зданием воздушный шарик и засечь время его подъёма до уровня шпиля. Может быть, может быть... (Желудкова Дарья: можно рассчитать среднюю скорость подъёма воздушного шара, например, с гелием). Нужно только независимо и достаточно точно измерить скорость подъёма такого шарика и быть уверенным, что во время полёта его не сдует в сторону какой-нибудь шальной порыв ветра (а около высоких зданий всегда ветрено).
Ещё можно высоту подъёма определить по барометрической формуле - так, как определяют высоту своего полёта на всех самолётах. Поскольку давление воздуха с высотой уменьшается по известному закону, то имея в руках барометр (на самолетах - альтиметр) и попав каким-либо образом (хотя и не понятно, каким) на верхушку шпиля, можно вычислить, на какую высоту относительно земли мы при этом поднялись. Возможно, что такое измерение удовлетворит и уровню требуемой точности.
Ещё более тонкий физический эффект, проявляющийся с высотой, состоит в том, что по мере подъёма мы удаляемся от центра Земли, а соответственно, при этом некоторым образом уменьшается и сила тяжести. Измерить уменьшение ускорения свободного падения с высотой теоретически можно с помощью эффекта замедления колебаний маятника, однако, достичь требуемой точности подручными средствами едва ли возможно.
Наиболее "продвинутые" школьники предлагали не мучаться вычислениями, а воспользоваться космическими навигационными системами ("взять GPS").
Наконец, напомним, что в условии задачи помимо всяких разнообразных способов измерения высоты требовалось указать и наиболее простой. По мнению автора, проще всего определить высоту ГЗ МГУ можно, если заметить, что все здание представляет собой по форме пирамиду с углом у основания 45 градусов. Убедиться в этом можно с помощью карандаша на вытянутой руке, гладя, например, со смотровой площадки. Соответственно, высота от основания до верхушки шпиля со звездой равна точно половине длины главного фасада здания, которое нетрудно измерить шагами, что автор и сделал.
Типичные ошибки.
- Можно рассматривать ближайший к МГУ фонарный столб.
- Сравнить МГУ с Останкинской башней.
- Можно скинуть большую катушку ниток.
- Сфотографировать так, чтобы всё влезло.
- Рассчитать площадь здания и количество стройматериалов.
- Проползти с линейкой от начала до конца здания.
- Мерить, когда здание строится.
- Прищурив взгляд, пальцем замерить высоту здания.
- Возьмем монетку, чтобы её размер совпадал со зданием.
- Посчитать количество кирпичей по вертикали.
- Высотку можно измерить из космоса по отбрасываемым теням.
Ответ на каждый вопрос оценивался в баллах; баллы, полученные участником за все ответы на вопросы конкурса по астрономии, суммировались. Оценка за каждый ответ, в свою очередь, складывалась из баллов, полученных за существенные и указанных в ответе факты, объекты, обстоятельства и т. п. Их перечень (разумеется, неполный) и примерная "стоимость" в баллах приведены в таблице.
| Вопрос 1. | |
| Созвездия - за каждое правильное название | 1 |
| Астросимволы - за каждое правильное указание, что изображено | 0,5 |
| Двоичная система (Корея) | 3 |
| Вопрос 2. | |
| Метод подобных треугольников | 1 |
| Указана недоступность центральной точки | 2 |
| Метод треугольников на разном удалении | 2 |
| Время свободного падения при недоступности верхней точки | 2 |
| Барометрическая формула | 2 |
| Замедление маятника | 2 |
| По суточному движению светила | 2 |
| Пирамида 45 градусов | 2 |
| Итого | 15 |
| Вопрос 3. | |
| Указаны правильные размеры Земли | 1 |
| Понижение горизонта на высоких точках | 2 |
| Опускание под горизонт кораблей, гор | 2 |
| Изменение высоты светил в зависимости от широты | 1 |
| Круглая тень при лунном затмении | 1 |
| Рефракция, миражи | 2 |
| Радиосвязь | 1 |
| Поясное время, самолёты, телепередачи, телефон | 2 |
| Вид из космоса | 1 |
| Обратное изображение горизонта | 2 |
| Отсутствие горизонта на планетах без твёрдой поверхности | 2 |
| Отсутствие горизонта на Венере (суперрефракция) | 2 |
| Итого | 16 |
| Вопрос 4. | |
| Положение относительно Гринвича | 1 |
| Понятие об антиподах в космографии | 2 |
| Наличие антиподов для иных материков | 3 |
| Итого | 6 |
| Вопрос 5. | |
| Понятие об относительности движения | 1 |
| Правильные примеры скоростей небесных тел | 2 |
| Правильные примеры нашей скорости в разных сист. отсчёта | 2 |
| Движение Солнца относительно барицентра | 2 |
| Опережение суточного вращения, орбитальное движение | 2 |
| Итого | 9 |
| Вопрос 6. | |
| Временная шкала (час, минута, секунда) | 2 |
| Календарь (месяц, год) | 1 |
| Метр, правильное определение | 2 |
| Градусная мера углов | 1 |
| Фунты, шиллинги, пенсы | 2 |
| Итого | 8 |
| Вопрос 7. | |
| Понятие о переносе энергии | 1 |
| Понятие о конвекции | 2 |
| Движения плазмы на поверхности Солнца | 2 |
| "горящий", "камни, как вода", "дожди" | 1 |
| Итого | 6 |
| Вопрос 8. | |
| Двухлинзовая система | 1 |
| Научный анализ, конструирование | 2 |
| Верификация изображений | 2 |
| Кольца Сатурна | 1 |
| Итого | 6 |
| Вопрос 9. | |
| Лектор "Карнавальная ночь" | 1 |
| Проблема "марсиан" (Скиапарелли, Уэллс) | 2 |
| Физические условия на поверхности Марса | 2 |
| Эксперимент "Викингов" | 2 |
| Новые формы жизни | 2 |
| Итого | 9 |
| Вопрос 10. | |
| Прямо сказано, что речь идёт о структуре Солнечной системы | 1 |
| Правильно названы по именам 9 больших планет | 1 |
| Пояс астероидов | 1 |
| Пояс Койпера или зона короткопериодических комет | 1 |
| Облако Оорта | 1 |
| Итого | 5 |
Критерии награждения (по сумме баллов за все задания конкурса).
| Класс | балл многоборья (e) | грамота за успешное выступление (v) |
| <7 | 2 | 3 |
| 8 | 3 | 4 |
| 9 | 4 | 5 |
| 10 | 4 | 6 |
| 11 | 4,5 | 6 |