Условия задач финальных боев

лига 8А		лига 9A		лига 10А		лига 11A
лига 8Б		лига 9Б		лига 10Б		лига 11Б

Лига 8А
(PS-файл)

1. BD - биссектриса угла B треугольника ABC. Точка E выбрана так, что угол EAB равен углу ACB, AE=DC, и при этом отрезок ED пересекает отрезок AB в точке K. Докажите, что KE=KD.
2. N цифр - единицы и двойки - расположены по кругу. Изображённым назовём число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении N все четырёхзначные числа, запись которых не содержит цифр, отличных от 1 и 2, могут оказаться среди изображённых?
3. Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) отметили точки M, N, K (точка N - ближайшая к стороне AC) так, что MN параллельна BC, NK параллельна AB. Докажите, что AM+KC>MN+NK.
4. Два игрока по очереди красят клетки доски 3x3. Вначале все клетки белые. Первый игрок красит клетки в красный, а второй - в синий цвет. За один ход каждый может закрасить не более трёх клеток, из которых не более одной небелой. Первый игрок хочет получить красный квадрат 2x2. Может ли второй ему помешать?
5. Десятизначное число, кратное 11111, все цифры которого различны, назовём интересным. Сколько существует интересных чисел?
6. Можно ли подобрать такие четыре натуральных числа, чтобы сумма любых двух из них была степенью числа 5?
7. На плоскости расположено несколько равных непересекающихся кругов. Верно ли, что их можно раскрасить в три цвета так, что никакие два одноцветных круга не касаются?
8. Наследство состоит из нескольких бриллиантов и оценивается в 1000000 долларов. Известно, что его можно разделить на 5, а можно и на 8 равных (по стоимости) частей. Какую наибольшую стоимость может иметь самый дешёвый бриллиант?

Лига 8Б
(doc-файл)

1. Петя хочет увеличить на 1 какие-нибудь четыре цифры числа 12345654321, чтобы полученное число стало делиться на 321. Сможет ли он это сделать?
2. Футбольная команда в течение года провела 9 игр, из которых не проиграла ни одной, причем все игры завершались с разным счетом. Всего команда забила 17 мячей, а пропустила - 7. Сколько игр команда закончила в ничью?
3. Рассматриваются всевозможные полоски размером 1x2005, каждая клетка которых покрашена либо в черный, либо в белый цвет. С каждой такой полоской проводится следующая операция: вырезаются две соседние клетки одного цвета, и (если вырезались не крайние клетки) оставшиеся части склеиваются по линиям разреза, и так до тех пор, пока это возможно. Сколько различных полосок получится в результате таких операций?
4. Два равных отрезка AB и CD перпендикулярны, причем точка C лежит внутри отрезка AB. Точка X такова, что треугольники XAD и XBC - равнобедренные с вершиной в X. Докажите, что эти треугольники - прямоугольные.
5. Вася написал 10 различных чисел. Среди них можно выбрать два числа, сумма которых - целое число. Также можно выбрать три числа, сумма которых - целое число, ┘, можно выбрать девять чисел, сумма которых - целое число. Можно ли утверждать, что среди выписанных Васей чисел есть хотя бы одно целое число?
6. Вычислите значение: (1212...12*244335244335...244335-123123...123)/(1212...12+244335...244335*1212...121211) где все числа - 102-значные.
7. На стороне BC прямоугольного треугольника ABC (угол B - прямой) взяты такие точки E и F (точка F между точками B и E), что лучи AE и AF делят угол A треугольника на три равных угла. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно прямой AF, пересекает прямую AB в точке K; прямая KF пересекает прямую AC в точке L. Докажите, что KF = EL.
8. Десятизначное число, кратное 11111, все цифры которого различны, назовем интересным. Сколько существует интересных чисел?

Лига 9А
(PS-файл)

1. Дана трапеция ABCD. Постройте отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, а диагонали делят его на три равные части.
2. Десятизначное число, кратное 11111, все цифры которого различны, назовём интересным. Сколько существует интересных чисел?
3. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шаматной доски размером 8x8 клеток для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка?
4. На плоскости расположено несколько равных непересекающихся кругов. Верно ли, что их можно раскрасить в три цвета так, что никакие два одноцветных круга не касаются?
5. Наследство состоит из нескольких бриллиантов и оценивается в 1000000 долларов. Известно, что его можно разделить на 5, а можно и на 8 равных частей. Какую наибольшую стоимость может иметь самый маленький бриллиант?
6. Обозначим через a_n целое число, ближайшее к числу \sqrt{n}(корень из n). Найдите сумму 1/a₁+...+1/a₂₀₀₅.
7. Одна из двух окружностей радиуса R проходит через вершины A и B, а другая - через вершины B и C параллелограмма ABCD. Докажите, что если M - вторая точка пересечения этих окружностей, то радиус окружности, описанной около треугольника AMD равен R.
8. Произведение положительных чисел x, y и z равно 1. Известно, что 1/x+1/y+1/z>x+y+z. Докажите, что 1/x³+1/y³+1/z³ > x³+y³+z³.

Лига 9Б
(doc-файл)

1. Известно, что p₁, p₂, p₃ - квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Докажите, что если каждые два из них имеют общий корень, то p₁+p₂+p₃ имеет корень.
2. Шкаф прямоугольной формы разрешается поворачивать, оставляя при каждом повороте одну из ножек неподвижной. За какое наименьшее количество поворотов можно поставить шкаф на то же самое место, развернув его на 180⁰?
3. Пусть a, b, c - неотрицательные числа, такие, что a + b + c = 1. Докажите, что (1 + a)(1 + b)(1 + c) >= 8(1 - a)(1 - b)(1 - c).
4. На сторонах АВ, ВС и AC равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) отметили точки D, F и E, соответственно, так, что DE = EF и РDEF = РBAC. Докажите, что AD + FC = AC.
5. Сумма ста натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 100, равна 200. Докажите, что среди этих чисел найдутся несколько таких, что их cумма равна 100.
6. На плоскости отметили несколько точек и несколько векторов с концами в этих точках. Оказалось, что в каждой точке начинается столько же векторов, сколько и заканчивается. Докажите, что сумма всех отмеченных векторов равна нулю.
7. На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 100x100 клеточек. Какое наименьшее количество кратчайших ломаных (длины 200), соединяющих левый нижний угол и правый верхний угол надо провести, чтобы они покрыли все узлы сетки внутри и на границе этого квадрата. (Ломаные проводятся по линиям сетки).
8. В стране Футболяндии между любыми двумя городами ходит либо поезд, либо автобус. При этом известно, что из каждого города в любой другой можно проехать как только поездом, так и только автобусом (возможно, с пересадками). Докажите, что ФИФА может выбрать четыре города в этой стране для проведения стартового тура чемпионата мира так, что движение транспорта на шести дорогах, попарно соединяющих эти города устроено так же. То есть, из любого города выбранной четверки в другой город этой четверки можно проехать, используя только эти 6 дорог, как только поездом, так и только автобусом (возможно, с пересадками).

Лига 10А
(PS-файл)

1. В пространстве даны две окружности: одна вписана в основание куба с ребром 1, вторая описана около его боковой грани. Найти наименьшее расстояние между точками этих окружностей.
2. Доказать, что для любого натурального n число n+[\sqrt{n}], где через [x] обозначено ближайшее к x целое число, не является полным квадратом.
3. Конечно или бесконечно множество таких пар натуральных чисел (m,n), что в разложения m и n на простые множители входят одни и те же простые числа (в разных степенях) и в разложения m+1 и n+1 также входят одни и те же простые множители.
4. На плоскости даны 2005 непересекающихся отрезков и 2007 не лежащих на этих отрезках точек. Доказать, что из этих точек можно выбрать две так, чтобы соединяющий их отрезок не пересекал ни одного из данных.
5. На плоскости даны три точки A, B, C. Построить четвертую вершину параллелограмма ABCD, пользуясь только круглым блюдцем, диаметр d которого больше любого из расстояний между данными точками (можно проводить окружности диаметра d, через точки расстояние между которыми не превышает d).
6. Найти все непрерывные функции f такие, что для любого действительного x f(x²)+f(x)=x²+x.
7. Последовательность {a_n} задана соотношениями a₁=1, a_n+1=a_n/2+1/4a_n. Доказать, что при всех n>1 \sqrt{2/(2a_n²-1) - натуральное число.
8. При каком наибольшем N существует такой однокруговой турнир N шахматистов, что:
   - каждый участник сыграл вничью не более одной партии;
   - нельзя найти четырех участников, первый из которых выиграл у трех остальных, второй у третьего и четвертого, третий у четвертого.

Лига 10Б
(doc-файл)

1. 1. Шкаф прямоугольной формы разрешается поворачивать, оставляя при каждом повороте одну из ножек неподвижной. За какое наименьшее количество поворотов можно поставить шкаф на то же самое место, развернув его на 180^o?
2. Решите в положительных числах систему уравнений:
   x₁+1/x₂=4,
   x₂+1/x₃=1,
   ...
   x₉₉+1/x₁₀₀=4,
   x₁₀₀+1/x₁=1,
   
3. На сторонах АВ, ВС и AC равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) отметили точки D, F и E, соответственно, так, что DE = EF и угол DEF равен углу BAC. Докажите, что AD + FC = AC.
4. Два игрока играют на клетчатом квадрате 30x30 в следующую игру: сначала первый игрок надрезает край листа по одной из линий сетки (надрез длины 1), затем второй продолжает этот надрез в любом направлении (также по линиям сетки, длины 1) и так далее. Выигрывает тот игрок, после хода которого от листа отвалится кусок. Кто выиграет при правильной игре?
5. Докажите, что переставив цифры в натуральном числе, являющемся целой степенью двойки (большей, чем третья) нельзя получить число, также являющееся целой степенью двойки.
6. Можно ли представить (xy)²⁰⁰ + 1 в виде f(x)*g(y)?
7. Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса угла С этого треугольника пересекает биссектрису внешнего угла В в точке К, а биссектриса угла В пересекает биссектрису внешнего угла С в точке L. Докажите, что середина отрезка KL принадлежит описанной окружности треугольника АВС.
8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух - нет?

Лига 11А
(PS-файл)

1. Доказать неравенство (a+b-2c)/sin(C/2)+(b+c-2a)/sin(A/2) +(a+c-2b)/sin(B/2)>=0, где a, b, c - стороны произвольного треугольника, A, B, C - его углы.
2. Доказать, что для любого натурального n число n+[\sqrt{n}] , где через [x] обозначено ближайшее к x целое число, не является полным квадратом.
3. Конечно или бесконечно множество таких пар натуральных чисел (m,n), что в разложения m и n на простые множители входят одни и те же простые числа (в разных степенях) и в разложения m+1 и n+1 также входят одни и те же простые множители.
4. На плоскости даны 2005 непересекающихся отрезков и 2007 не лежащих на этих отрезках точек. Доказать, что из этих точек можно выбрать две так, чтобы соединяющий их отрезок не пересекал ни одного из данных.
5. На плоскости даны три точки A, B, C. Построить четвертую вершину параллелограмма ABCD, пользуясь только круглым блюдцем, диаметр d которого больше любого из расстояний между данными точками (можно проводить окружности диаметра d, через точки расстояние между которыми не превышает d).
6. Найти все непрерывные функции f такие, что для любого действительного x
   f(x²)+f(x)=x²+x.
7. Последовательность \{a_n\} задана соотношениями a₁=1, a_n+1=a_n/2+1/4a_n. Доказать, что при всех n>1 \sqrt{2/(2a_n²-1) - натуральное число.
8. При каком наибольшем N существует такой однокруговой турнир N шахматистов, что:
   - каждый участник сыграл вничью не более одной партии;
   - нельзя найти четырех участников, первый из которых выиграл у трех остальных, второй у третьего и четвертого, третий у четвертого.

Лига 11Б
(doc-файл)

1. Известно, что функция f(x) определена при всех действительных значениях х и является монотонно убывающей, а функцияx x + f(x) является возрастающей. Докажите, что при всех натуральных n функция х + f(x) + f(f(x)) + f(f(f(x))) + ... + f(f(f(...f(x))) (в последнем слагаемом x скобок) является возрастающей.
2. Число n > 50 является суммой квадратов трех последовательных натуральных чисел. Докажите, что оно по крайней мере еще одним способом может быть представлено в виде суммы трех квадратов натуральных чисел.
3. В каждой из трех школ учится по n человек. Любой ученик имеет в сумме n + 1 знакомых учеников из двух других школ. Докажите, что можно выбрать по одному ученику из каждой школы так, чтобы все трое выбранных учеников были знакомы друг с другом.
4. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и АОD равны. АС = а, BD =7/5a, угол САВ равен удвоенному углу DBA. Найдите площадь АВСD.
5. Все грани треугольной пирамиды - подобные прямоугольные треугольники. Найдите отношение наибольшего ребра этой пирамиды к наименьшему.
6. Вычислите интеграл: .
7. Каждая точка плоскости покрашена в один из двух цветов. Для каждого треугольника, все вершины которого одного и того же цвета, центр описанной окружности этого треугольника покрашен в тот же цвет. Докажите, что все точки плоскости - одного цвета.
8. Докажите, что если a, b и c - углы треугольника, то cos(a - b)cos(b - c)cos(c - a) >= 8cos a*cos b*cos c.