Математическая регата 7 классов 19.04.2008

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).

1.1. Частное от деления двух одночленов равно 9х²у, а их произведение равно х⁸у⁹. Приведите пример таких одночленов.

1.2. В равнобедренном тупоугольном треугольнике проведите четыре отрезка так, чтобы он разделился на шесть прямоугольных треугольников. Поясните ваше решение.

1.3. Найдутся ли различные натуральные числа x, y и z такие, что сумма любых двух из них является простым числом? Объясните ответ.

2.1. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а чиновников – 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?

2.2. Из середины М стороны AB равностороннего треугольника ABC опустили перпендикуляры МK и МL на стороны AC и BC. Найдите KL, если AB = 1.

2.3. Вилли, Билли, Бим и Бом провели круговой турнир по шахматам (каждый сыграл с каждым по одному разу, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков). Известно, что четыре партии было сыграно вничью, а Вилли набрал 0,5 очка. Бим сказал, что он за турнир набрал 2,5 очка. Могло ли такое быть?

Третий тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).

3.1. Винни-Пух и Пятачок сели за стол немного подкрепиться и начали одновременно есть мед из одного горшка, не отвлекаясь на разговоры. Если бы Винни-Пух ел со скоростью Пятачка, то процесс еды длился бы на 4 минуты дольше, а если бы, наоборот, Пятачок ел со скоростью Винни-Пуха – то сократился бы на 1 минуту. За какое время мед из горшка был полностью съеден?

3.2. Точки А, В, С и D расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Известно, что AB = BC = CD и AC = BD. Докажите, что среди прямых, соединяющих данные точки попарно (AB, BC, CD, AC, BD, AD), есть хотя бы две параллельные.

3.3. На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник по линиям сетки. Внутри него оказалось единичных отрезков сетки на 90 больше, чем узлов. Определите размеры прямоугольника.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).

4.1. Решите уравнение: |65x³ + 12x| = |48x² + 1|.

4.2. Высоты ВР и СQ треугольника АВС пересекаются в точке Н. Оказалось, что BH = AC. Найдите возможные значения угла АВС.

4.3. Десятичная запись числа состоит из десяти различных цифр. Цифра называется «хорошей», если она равна сумме двух своих соседей (слева и справа). Какое наибольшее количество «хороших» цифр может быть в таком числе?