Математическая регата 11 классов 23.11.2013

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл) | Решения (pdf-файл)

9 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Для каких значений x выполняется неравенство: ?

1.2. Окружность пересекает оси координат в точках А(a; 0); B(b; 0); C(0;c) и D(0; d). Найдите координаты ее центра.

1.3. При каких натуральных n число n2 – 1 является степенью простого числа>?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cosα; cos2α; ... ; cos(2n;α); ... принимают отрицательные значения?

2.2. На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его ребра.

2.3. Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Сумма восьми чисел равна . Оказалось, что сумма любых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?

3.2. Дан четырехугольник АВСD площади 1. Из его внутренней точки О опущены перпендикуляры OK, OL, OM и ON на стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно. Известно, что AKKB, BLLC, CMMD и DNNA. Найдите площадь четырехугольника KLMN.

3.3. В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко; ничья – 0,5 очка; поражение – 0).

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Числа x, y, z и t лежат в интервале (0, 1). Докажите неравенство: < 4 .

4.2. Известно, что в неравностороннем треугольнике ABC точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны BC, принадлежит описанной окружности. Докажите, что ∠ BAC < 60°.

4.3. Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. На координатной плоскости изображен график функции y = ax2 + bx + c (см. рисунок). На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции y = cx2 + 2bx + a. Ответ поясните.

5.2. Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?

5.3. Найдите все трехзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.

Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Переславль+

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

5

9

0

5

2

93

I

2 0 0 7 В

6

6

0

7

0

7

8

1

8

9

0

9

7

3

0

71

II

2 0 0 7 Д

6

6

6

0

0

7

8

8

4

9

0

9

4

0

0

67

II

1 5 4 3 А

6

6

4

0

7

7

0

8

0

9

0

4

7

7

0

65

II

5 А Долгопрудный

6

0

4

0

0

7

8

1

8

9

0

9

7

0

0

59

II

2 1 8

6

6

1

0

7

7

4

8

0

0

0

7

7

0

0

53

III

1 5 6 8

0

6

0

7

7

7

0

1

1

9

0

8

7

0

0

53

III

1 5 4 7

6

3

0

7

0

7

0

8

2

0

8

4

7

0

0

52

III

2 0 0 7 А

6

6

0

0

2

7

4

1

0

9

0

9

0

5

0

49

III

ЦДО А

6

6

0

5

0

7

0

1

1

9

0

6

7

0

0

48

III

Интеллектуал

0

0

6

0

7

7

4

1

2

9

0

9

0

0

0

45

ПП

1 1 8 9 В

0

6

5

0

7

7

8

1

2

0

0

7

0

0

43

ПП

3 1 5 Б

6

6

6

0

0

7

0

0

2

0

0

8

7

0

0

42

2 0 0 7 Б

6

6

2

0

3

7

0

1

0

0

0

9

7

0

0

41

9 1

0

0

1

0

0

7

1

1

8

9

0

2

7

0

0

36

5 Б Долгопрудный

6

6

0

0

0

7

0

1

2

0

0

6

7

0

0

35

1 5 1 1 В

0

6

0

0

0

0

8

2

9

0

9

0

0

0

34

3 0 С - Петербург

0

0

0

0

0

7

4

1

1

9

0

1

7

0

2

32

3 5 4 А

6

6

1

0

0

7

0

1

2

0

0

1

7

0

0

31

1 5 8 1 Б

0

6

0

0

0

7

1

1

0

9

0

0

7

0

0

31

1 1 8 9 Б

0

6

0

0

7

7

0

0

0

0

0

1

7

0

0

28

7

0

2

0

0

0

7

0

1

0

0

0

4

7

0

0

21

3 1 5 В

6

0

0

0

0

7

0

1

2

0

0

1

4

0

0

21

1 5 1 1 Б

6

6

0

0

0

7

0

0

-1

0

0

3

0

0

0

21

1 5 8 1 В

6

0

0

5

0

1

0

0

0

0

1

7

0

0

21

ЦДО Б

0

0

1

0

0

6

0

1

2

0

0

4

7

0

0

21

3 1 5 А

6

3

0

0

0

5

0

0

2

0

0

4

0

0

0

20

1 1 8 9 А

0

5

0

0

0

1

0

1

2

0

0

4

7

0

0

20

1 5 1 2

0

0

0

0

0

7

0

0

2

0

0

4

7

0

0

20

2 0 0 7 Г

5

6

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

7

0

0

20

1 5 1 1 А

6

6

0

1

0

0

0

1

0

0

0

5

0

0

0

19

1 1 3 3 А

0

0

1

0

0

2

0

0

3

7

0

13

1 5 8 1 А

6

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

4

0

0

0

12

3 5 4 Б

5

0

0

0

0

0

4

0

2

0

0

0

0

0

0

11

1 3 0 5

0

0

0

0

0

0

0

1

2

0

0

1

0

0

0

4

9 7 8

0

0

0

0

0

1

0

0

2

0

0

0

0

0

0

3

1 9 9 8

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

3

2 0 0 9 А

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

2

Rambler's
Top100 Rambler's Top100