Математическая регата 8 классов 18.01.2014

1.1. Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 4¹²·5²¹

1.2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует углы по 45° со стороной BC и высотой, проведенной из вершины D к стороне АВ. Найдите угол АСD.

1.3. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?

2.1. Для чисел а, b и с выполняется равенство . Следует ли из него, что ?

2.2. Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок). Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

2.3. Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма любых двух из них – степень тройки?

3.1. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?

3.2. В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF. Найдите длину ВЕ.

3.3. Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы А и В могут сфотографировать друг друга, если на отрезке АВ нет других фотографов.)

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трем папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?

4.2. На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что AC = CM и MN = NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.

4.3. Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трехкопеечных монет могло быть у Толи?

Результаты регаты: