Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл) | Решения (pdf-файл)
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 412·521
1.2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует углы по 45° со стороной BC и высотой, проведенной из вершины D к стороне АВ. Найдите угол АСD.
1.3. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Для чисел а, b и с выполняется равенство . Следует ли из него, что
?
2.2. Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок). Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.
2.3. Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма любых двух из них – степень тройки?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?
3.2. В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF. Найдите длину ВЕ.
3.3. Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы А и В могут сфотографировать друг друга, если на отрезке АВ нет других фотографов.)
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трем папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?
4.2. На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что AC = CM и MN = NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.
4.3. Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трехкопеечных монет могло быть у Толи?
Результаты регаты:
Команда |
I тур |
II тур |
III тур |
IV тур |
Сумма |
Диплом |
||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|||
2 0 0 7 Г |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
9 |
90 |
I |
2 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
3 |
84 |
I |
2 0 0 7 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
0 |
7 |
8 |
1 |
8 |
9 |
5 |
9 |
72 |
II |
1 5 4 3 Г |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
6 |
0 |
8 |
0 |
9 |
9 |
71 |
II |
1 5 1 4 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
0 |
0 |
5 |
68 |
II |
2 1 8 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
0 |
7 |
4 |
0 |
8 |
9 |
0 |
9 |
62 |
III |
Саров |
6 |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
0 |
1 |
59 |
III |
МММФ_1415 |
6 |
6 |
2 |
0 |
7 |
7 |
5 |
0 |
8 |
0 |
9 |
9 |
59 |
III |
5АДолгопрудный |
6 |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
9 |
57 |
III |
2 В |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
56 |
III |
2 Г |
6 |
4 |
6 |
0 |
7 |
7 |
8 |
8 |
0 |
9 |
0 |
0 |
55 |
III |
2 0 0 7 Б |
6 |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
7 |
55 |
III |
2 1 8 Б |
6 |
2 |
6 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
0 |
9 |
0 |
9 |
54 |
III |
1 5 6 8 Б |
6 |
6 |
6 |
3 |
7 |
7 |
5 |
8 |
0 |
0 |
0 |
5 |
53 |
III |
2 А |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
7 |
8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
9 |
51 |
|
2 0 0 7 В |
6 |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
1 |
8 |
0 |
0 |
9 |
51 |
|
ИнтеллектуалА |
6 |
6 |
6 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
2 |
50 |
|
1 1 8 9 А |
6 |
5 |
0 |
0 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
9 |
50 |
|
1 5 6 8 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
45 |
|
1 5 4 3 Б |
6 |
2 |
6 |
7 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
45 |
|
1 5 4 3 В |
0 |
1 |
6 |
0 |
7 |
7 |
5 |
1 |
0 |
7 |
8 |
2 |
44 |
|
1 5 6 8 В |
6 |
2 |
6 |
0 |
7 |
0 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
7 |
44 |
|
1 5 1 4 Б |
6 |
6 |
6 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
42 |
|
1 1 8 9 Б |
6 |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
8 |
0 |
0 |
9 |
41 |
|
1 1 8 9 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
4 |
7 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
39 |
|
2 Д |
6 |
1 |
6 |
7 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
39 |
|
30АС-Петербург |
6 |
1 |
0 |
7 |
7 |
7 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
37 |
|
1 5 4 3 А |
6 |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
37 |
|
1 5 3 4 Б |
6 |
2 |
6 |
-1 |
7 |
7 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
36 |
|
1 7 4 1 А |
0 |
6 |
6 |
3 |
0 |
0 |
8 |
8 |
0 |
0 |
0 |
4 |
35 |
|
Подольск |
6 |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
9 |
0 |
2 |
34 |
|
1 5 1 4 Г |
0 |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
31 |
|
1 5 4 7 А |
0 |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
9 |
0 |
4 |
31 |
|
30ГС-Петербург |
6 |
2 |
0 |
0 |
5 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
30 |
|
1 5 3 7 В |
6 |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
4 |
30 |
||
3 5 4 Б |
6 |
1 |
6 |
0 |
7 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
29 |
|
1 5 3 4 А |
0 |
6 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
2 |
29 |
||
5БДолгопрудный |
1 |
6 |
0 |
-1 |
7 |
7 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
29 |
|
30БС-Петербург |
6 |
6 |
6 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
25 |
|
1 5 1 4 В |
6 |
0 |
6 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
2 |
25 |
|
1 5 5 3 |
0 |
6 |
6 |
-1 |
-1 |
7 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
24 |
|
1 5 5 7 В |
0 |
6 |
6 |
0 |
7 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
22 |
|
2 1 8 Г |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
21 |
|
ШР Люберцы |
0 |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
20 |
|
1 5 9 0 Б |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
20 |
|
1 5 9 0 А |
0 |
1 |
6 |
7 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
19 |
|
2 0 3 1 Б |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
18 |
|
1 5 5 8 Б |
6 |
0 |
6 |
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
18 |
|
1 7 9 |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
18 |
|
1 5 1 2 Б |
0 |
6 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
16 |
|
1 5 3 7 Г |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
16 |
|
4 6 3 Б |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
15 |
|
1 5 4 7 Б |
0 |
1 |
6 |
-1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
15 |
|
1 5 1 2 А |
0 |
0 |
6 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
14 |
|
1 5 3 7 А |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
8 |
0 |
0 |
2 |
14 |
|
1 5 5 7 Б |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
14 |
|
1 2 Люберцы |
6 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
|
2 0 0 9 Б |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
13 |
|
30ВС-Петербург |
0 |
6 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
|
1 4 2 3 |
1 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
11 |
|
1 5 4 7 В |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
11 |
|
7 9 9 А |
0 |
1 |
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
11 |
|
1 5 5 7 Г |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
10 |
|
1 5 5 8 А |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
10 |
|
1 5 3 7 Б |
1 |
6 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
10 |
|
5 4 6 А |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
9 |
|
7 7 1 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
8 |
|
2 1 8 В |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
8 |
|
5 2 9 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
8 |
||
1 5 9 0 В |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
|
1 2 5 3 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
7 |
|
4 6 3 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
7 |
|
2 0 3 1 А |
0 |
1 |
6 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
1 7 4 1 Б |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
||
1 5 5 7 А |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
|
5 4 6 Б |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
2 0 0 9 А |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 5 4 А |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
7 9 9 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |