Математическая регата 10 классов 25.03.2023

1.1. Решите систему уравнений:

1.2. Один параллелограмм лежит внутри другого. Может ли сумма диагоналей внутреннего быть больше суммы диагоналей внешнего?

1.3. Можно ли расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 по кругу в таком порядке, чтобы каждое число делилось на разность своих соседей?

2.1. На координатной плоскости постройте множество точек (x; y), для которых неравенство |xsinα + ycosα| ≤ 1 выполняется независимо от значения α.

2.2. Два правильных шестиугольника с отношением сторон 1 : 2 расположены так, как показано на рисунке. Найдите АN, если CL = 6.

2.3. Можно ли раскрасить всю плоскость в два цвета – черный и белый – таким образом, чтобы на каждой окружности радиуса 1 лежали ровно две белые точки?

3.1. Можно ли число 1111111122222222 (восемь единиц и восемь двоек) представить в виде произведения двух последовательных натуральных чисел?

3.2. Найдите наибольшую возможную площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром 1 на плоскость.

3.3. Рассматриваются все последовательности длины 8, составленные из чисел 1, 0 и –1. У скольких из них сумма всех членов равна нулю?

4.1. Найдите все такие функции, определённые на R, что для всех x и y выполняется равенство f(x + y + f(x)) = f(x + y) + yf(x).

4.2. В треугольнике ABC угол ACB равен 120°, M – середина AB. На сторонах AC и BC отмечены точки P и Q соответственно так, что AP = PQ = QB. Найдите угол PMQ.

4.3. Петя записал в ряд n чисел, каждое из которых 1 или –1 (n > 4). Каждым вопросом Вася может узнать у него произведение любых трёх чисел. За какое наименьшее количество вопросов он сможет узнать произведение всех чисел, написанных Петей?

5.1. В школе 1000 школьников и 35 классов. Каждому школьнику на лбу написали, сколько в его классе учеников. Чему может равняться сумма чисел, обратных записанным?

5.2. В остроугольном треугольнике АВС: ВМ – медиана, Н – ортоцентр, Р – основание перпендикуляра, опущенного из Н на ВМ. Докажите, что ВM·МР = АМ².

5.3. Найдите все такие натуральные числа m и n, где m > n, что m!·n! = 10!

Результаты регаты: