11 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Решите систему уравнений: 
1.2. В треугольнике АВС: ∠А = 35°, ∠C = 20°, О – центр описанной окружности. Докажите, что точки А, В, С и О являются вершинами трапеции.
1.3. По кругу отмечены 2023 точки, каждая из которых окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли среди них найдутся две точки одного цвета, разделённые ровно шестнадцатью точками?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Сравните, не используя калькулятор: cos5 и 0,5.
2.2. В сосуд, имеющий форму конуса с вершиной внизу, налили воды так, что расстояние от вершины до уровня воды равно 2 см. Сосуд закупорили и перевернули. Теперь расстояние от дна до уровня воды равно 1 см. Найдите высоту конуса. Уровень воды параллелен основанию конуса.
2.3. Запись девятизначного числа, делящегося на 37, разбили на две части и переставили эти части друг с другом. Обязательно ли полученное девятизначное число будет делиться на 37?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. Решите уравнение: 
3.2. Прямая пересекает четыре равных равносторонних треугольника, стоящих в ряд (см. рисунок). Найдите сумму площадей закрашенных частей, если площадь каждого треугольника равна 6.
3.3. В центрах шестнадцати клеток шахматной доски стоят 8 белых и 8 чёрных фишек. Известно, что ни в одной строке и ни в одном столбце нет фишек одного цвета. Для каждой белой фишки подсчитали расстояние до чёрной фишки, стоящей с ней в одном столбце. Найдите наибольшее значение суммы этих расстояний. (Расстояние между центрами двух соседних клеток равно 1).
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Положительные числа a, b, c, d удовлетворяют соотношениям a2 + d2 – ad = b2 + c2 + bc и a2 + b2 = c2 + d2. Найдите все возможные значения выражения
4.2. В остроугольном треугольнике ABC построена точка D, симметричная центру I вписанной окружности относительно центра O описанной окружности. Докажите, что AD2 = 4R2 – AB·AC, где R – радиус описанной окружности треугольника АВС.
4.3. Сумма одиннадцати натуральных чисел равна 441. Найдите наименьшее значение, которое может принимать наименьшее общее кратное всех этих чисел.
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
