Математическая регата 8 классов 27.01.2024

1.1. Решите уравнение:

1.2. Вершину A прямоугольника ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?

1.3. К некоторому натуральному числу прибавили удвоенную сумму его цифр. Могло ли получиться число 2024?

2.1. Однажды 91 участник летнего лагеря решили сходить в кино. Прошлым летом они бы поместились в 8 рядов кинозала (но не в 7). Однако этим летом каждое четвёртое кресло (то есть каждое кресло, номер которого в ряду делится на 4) должно оставаться пустым, поэтому один участник не поместился в кинозале. Сколько рядов в зале и сколько кресел в каждом из них, если во всех рядах поровну мест?

2.2. На сторонах CD и AD квадрата ABCD отмечены точки K и М так, что MK = CK. Перпендикуляр к MK, проходящий через точку М, пересекает АВ в точке N. Докажите, что расстояние от С до прямой MN равно стороне квадрата.

2.3. В комнате находятся несколько рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждому дали листок бумаги и попросили написать про каждого из остальных, кем он является: лжецом или рыцарем. Когда собрали все листы и произвели подсчёты, то записей «лжец» оказалось 40, а записей «рыцарь» – 32. Сколько в комнате рыцарей, если известно, что их больше, чем лжецов?

3.1. Докажите, что число 2022·2024³ – 2023·2021³ является кубом целого числа.

3.2. Дан квадрат со стороной 1. Найдите геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до прямых, содержащих его стороны, равна 4.

3.3. В клетках прямоугольной таблицы расставлены натуральные числа так, что в каждой строчке и в каждом столбце сумма чисел чётна. Докажите, что, если раскрасить клетки таблицы в шахматном порядке, то сумма чисел в чёрных клетках будет чётна.

4.1. Можно ли сократить дробь на многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами?

4.2. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите угол АВМ, если ∠ВАС = 30°, ∠ВСА = 105°.

4.3. На некоторой планете между тремя городами A, B и C проложены дороги так, что каждый город связан с каждым больше, чем одной дорогой. Назовем путём из одного города в другой любой способ проехать напрямую или через третий город. Известно, что города A и B связывают 29 путей, а города B и C – 23 пути. Сколько путей связывают города A и C? (Движение по всем дорогам двустороннее.)

Результаты регаты: