11 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Решите неравенство: 
1.2. В треугольнике АВС ∠А = 60°. Вписанная в треугольник окружность радиуса r касается ВС в точке K. Докажите, что AK ≤ 3r.
1.3. Докажите, что для любых натуральных чисел а и b НОД(a; b) + НОК(a; b) 
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Докажите, что график функции 
имеет центр симметрии и найдите координаты этого центра.
2.2. Найдите радиус окружности, в которую вписан четырёхугольник, у которого последовательные стороны равны 7, 7, 5 и 3.
2.3. Клетки шахматной доски покрашены в 8 цветов так, что в каждый цвет покрашено 8 клеток. Верно ли, что всегда можно поставить на 8 разноцветных клеток 8 ладей, не бьющих друг друга?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. Известно, что a > 0, b > 0, c > 0 и a + b + c = 1. Докажите, что 
3.2. В пятиугольнике ABCDE: AB = DE, ∠А = ∠Е = 45°, ВС⊥СD, АЕ = 10, BC + CD = 6 (см. рисунок).
Найдите площадь пятиугольника. 
3.3. Найдите все такие целые n, что число 15n2 – 2n – 1 является степенью двойки.
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Найдите функцию f(x), определённую при x≠±3, x≠±1 и x≠0 и удовлетворяющую условию: 
.
4.2. Высота и радиус основания прямого кругового цилиндра равны 1. Каким наименьшим количеством шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
4.3. Все натуральные числа раскрасили в красный и синий цвета. Натуральные числа m и n таковы, что множество всех красных чисел, умноженных на m, совпадает с множеством всех синих чисел, умноженных на n. Чему могут быть равны m и n?
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
