Математическая регата 9 классов 4.10.2025

1.1. Числитель и знаменатель дроби – натуральные числа. Числитель увеличили на 3, а знаменатель увеличили на 4. В результате получили дробь, равную ¹⁄₃. Найдите исходную дробь, если известно, что сумма её числителя и знаменателя наименьшая из возможных.

1.2. Диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны. Обязательно ли этот четырёхугольник имеет ось симметрии?

1.3. При каких натуральных значениях n верно равенство: n! + 1 = (n + 1)²?

2.1. Для натуральных a, m и n числа a + m и a + n – квадраты двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что a + mn – квадрат натурального числа.

2.2. В треугольнике ABC проведены медиана AM и биссектриса CL. Точка D лежит на стороне AC. Найдите AB, если известно, что середина биссектрисы CL является серединой отрезка DM, AC = 10 и cos∠BAC = 0,25.

2.3. Дана доска размером 12×12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат размером 3×3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и переставить одну из них симметрично относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить все шашки, так, чтобы они образовали квадрат в правом нижнем углу?

3.1. Сколько точек координатной плоскости, имеющих обе целые координаты, удовлетворяют условию: ?

3.2. Через точку М пересечения медиан треугольника проведена прямая, пересекающая его стороны во внутренних точках K и L. Докажите, что 0,5 < ^MK⁄_ML < 2.

3.3. Найдите все пары (m; n) натуральных чисел, для которых 4(mn + 1) делится на (m + n)².

4.1. Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим, сколько времени осталось до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составило 1 час и оставалось таким еще в течение пяти часов, поэтому водитель даже решил, что компьютер завис. Докажите, что такая ситуация все-таки возможна при работающем компьютере и найдите сколько километров проехал автобус за t часов такого движения, считая от времени старта автобуса (²⁄₃ < t < 5²⁄₃)

4.2. АС – наименьшая сторона треугольника АВС. На сторонах АВ и ВС отмечены точки М и K соответственно так, что АМ = АС = СK. Докажите, что отрезок MK перпендикулярен отрезку OI, соединяющему центры описанной и вписанной окружностей треугольника АВС.

4.3. Клетчатый прямоугольник разрезали на прямоугольники размером 1×2 (доминошки) так, что любая прямая, идущая не по линиям сетки параллельно одной из сторон, пересекает чётное число доминошек. Докажите, что длина одной из сторон прямоугольника делится на 4.

5.1. Решите уравнение: x² + √ -x = 18.

5.2. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ и АС в точках Р и Q соответственно. Известно, что BQ = CP. Обязательно ли треугольник АВС равнобедренный?

5.3. В правильном пятиугольнике проведены все диагонали. Около каждой вершины и около каждой точки пересечения диагоналей записали число 1. За один шаг разрешается заменить все числа, стоящие вдоль одной прямой на противоположные. Можно ли за несколько шагов добиться, чтобы около каждой точки стояло число –1?­­

Результаты регаты: