Условия задач полуфиналов

лига 8А		лига 9A		лига 10А		лига 11A
лига 8Б		лига 9Б		лига 10Б		лига 11Б

Лига 8А
(PS-файл)

1. В фирме "Рога и копыта" работают 1111 сотрудников. По распоряжению мэра Черноморска каждый сотрудник должен в течение года отработать 7 дней подряд на благоустройстве городской территории. Докажите, что в течение этого года найдётся семь дней (не обязательно идущих подряд), когда благоустройством занималось нечётное число работников фирмы.
2. Верно ли, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей?
3. Дан треугольник ABC. Точка A₁ симметрична вершина A относительно прямой BC, а точка C₁ симметрична вершине C относительно прямой AB. Докажите, что если точки A₁, B и C₁ лежат на одной прямой и C₁B=2A₁B , то угол CA₁B – прямой.
4. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на любое большее трёх число равнобедренных треугольников.
5. Какое из чисел больше: 31¹¹¹ или 17¹³⁸ ?
6. На доске выписаны все целые числа от 1 до 14, каждое – по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма – точный квадрат, то выигрывает второй, иначе – первый. Кто выигрывает при правильной игре?
7. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбраны точки A₁ , B₁, C₁ так, что медианы A₁A₂ , B₁B₂, C₁C₂ треугольника A₁B₁C₁ соответственно параллельны прямым AB, BC, CA. Определите, в каком отношении точки A₁, B₁, C₁ делят стороны треугольника ABC.
8. На шахматной доске размером 1000x1000 стоит чёрный король и 499 белых ладей. Докажите, что при произвольном начальном расположении фигур король может стать под удар белой ладьи, как бы ни играли белые.

Лига 8Б
(doc-файл)

1. Шестиугольник со стороной 3 разрезается на 54 треугольника со стороной 1 (как показано на рисунке). На сколько треугольников со стороной 1 разобьется аналогичным образом шестиугольник со стороной 10?
2. Массы трех кусков сыра пропорциональны числам 1, 2, 3. Разрезали два куска. Каждый – на две части. Получилось 5 кусков, у которых массы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5, 6. Какие куски резали и в какой пропорции?
3. Решить ребус: Н ×  О ×  С + Р ×  У ×  К ×  А = В ×  И ×  Д.
4. В вершинах октаэдра поставлены различные натуральные числа. Выписали суммы чисел на каждой из граней. Какое наименьшее количество различных чисел может быть среди них?
5. Внутри прямого угла Х взята точка Р. Рассмотрим всевозможные прямоугольные треугольники АРВ, у которых концы гипотенузы А и В лежат на сторонах угла Х. Какую фигуру образуют на плоскости середины отрезков AB?
6. Попарно различные числа a, b и c таковы, что a³ (b - c) + b³ (c - a) + c³ (a - b) = a² (b - c) + b² (c - a) + c² (a - b). Докажите, что a + b + c = 1.
7. На столе лежат 8 гирек с массами 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 граммов, но неизвестно, какая гирька сколько весит. Как за 13 взвешиваний на чашечных весах без дополнительных гирь определить две самые легкие и две самые тяжелые гирьки?
8. Каждой последовательности из девяти цифр 1, 2, 3, сопоставили число 1, 2, или 3. Известно, что последовательностям 111111111, 222222222, 333333333, 122222222 сопоставлены соответственно числа 1, 2, 3, 1, а если две последовательности различаются во всех разрядах, то им сопоставляются разные числа. Какое число сопоставлено последовательности 123123123?

Лига 9А
(PS-файл)

1. В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB=AD и BE=EC (E между A и D). Точка F – середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.
2. Верно ли, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей?
3. Для всех натуральных n>1 найдите все решения уравнения \sqrt{\overline{xx\dots x}{2n цифр} - \overline{yy\dots y}{n цифр}} = \underbrace{\overline{zz\dots z}}_{n цифр}, где x, y, z – цифры.
4. Какое из чисел больше: 31¹¹¹ или 17138?
5. На доске выписаны все целые числа от 1 до 14, каждое – по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма – точный квадрат, то выигрывает второй, иначе – первый. Кто выигрывает при правильной игре?
6. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбраны точки A₁, B₁, C₁ так, что медианы A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ треугольника A₁B₁C₁ соответственно параллельны прямым AB, BC, CA. Определите, в каком отношении точки A₁, B₁, C₁ делят стороны треугольника ABC.
7. На шахматной доске размером 1000x1000 стоит чёрный король и 499 белых ладей. Докажите, что при произвольном начальном расположении фигур король может стать под удар белой ладьи, как бы ни играли белые.
8. Солдат должен проверить отсутствие мин на участке, включающем границу и имеющем форму равностороннего треугольника. Радиус действия его детектора равен половине высоты треугольника. Солдат выходит из одной вершины треугольника. Какой путь он должен выбрать, чтобы пройти наименьшее возможное расстояние и выполнить задание?

Лига 9Б
(PS-файл)

1. На доске написаны k чисел. Известно, что сумма любых трёх подряд идущих чисел отрицательна, а сумма всех чисел положительна. При каких k это возможно?
2. Дана окружность с центром O и её диаметр AB. Точка X движется по окружности, и на каждом радиусе OX откладывается отрезок OM, длина которого равна расстоянию от X до AB. Найти геометрическое место точек M.
3. Какое наименьшее количество уголков из трех клеточек нужно разместить в квадрате 8x8 клеток так, чтобы в него нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры?
4. Найдите все тройки натуральных чисел (x, y, z), для которых все три числа: x^y+z, y^z+x, z^x+y являются простыми.
5. В четырехугольнике ABCD AB||CD. Некоторая прямая пересекает стороны ВС и AD, диагонали AC и BD, и продолжения сторон AB и CD так, что на этой прямой отсекаются равные отрезки. Каким может быть отношение AB:CD?
6. Если в некоторый момент на экране компьютера появляются a треугольников и b кругов, то через 5 секунд становится 3a-2b треугольников и 3b-2a кругов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока какое-то из чисел, определяющих количество фигур, не станет отрицательным. В каких случаях этот процесс может продолжаться вечно?
7. В турнире по волейболу участвовало 12 команд. Оказалось, что не было команды, проигравшей всем остальным. Можно ли утверждать, что найдутся такие команды А, В и С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А? (каждая команда сыграла с каждой один раз; ничьих в волейболе не бывает).
8. На столе лежат 6 кучек спичек: по 10, 11, 12, 13, 14 15 спичек соответственно. Ход состоит в том, что можно взять из любой кучки 1 спичку, либо объединить в одну кучу 2 непустые кучи, количества спичек в которых одной чётности. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Лига 10А
(PS-файл)

1. В клетках таблицы n x n первоначально стоят нули. Разрешается прибавить единицу к n клеткам, стоящим в попарно различных строках и попарно различных столбцах. Докажите, что такими операциями можно получить любую таблицу, в которой все числа – целые неотрицательные и все суммы чисел по строкам и столбцам равны.
2. Дана последовательность x_n: x₁=2, x_n+1=(2+x_n)/(1-2x_n), n=1,2,... Докажите, что она непериодическая.
3. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что числа 1, 2, ..., 3n можно разбить на n групп по три числа, в каждой из которых одно равно сумме двух других.
4. Конструктор состоит из прямоугольных деталей, уложенных в один слой в прямоугольную коробку. В бракованном наборе у каждой детали одно из двух горизонтальных измерений оказалось немного меньше стандартного. Верно ли, что у коробки также можно уменьшить одно горизонтальное измерение и при этом детали по-прежнему можно будет уложить в нее в один слой?
5. Найдите все натуральные k, при которых выражение sin kx sin^kx+coskx cos^kx-cos^k2x принимает при всех x одно и то же значение.
6. Проекции двух выпуклых n-угольников на любую прямую равны. Верно ли, что равны сами многоугольники?
7. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а точки A', B', C' симметричны A, B, C относительно противоположных сторон треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников OAA', OBB', OCC', имеют, помимо O, еще одну общую точку.
8. Пусть S(d) – сумма цифр числа d. Докажите, что при бесконечно многих n уравнение x+S(x)+S(S(x))=n имеет по крайней мере три решения.

Лига 10Б
(doc-файл)

1. Учитель написал на доске квадратный трехчлен x²+10x+20. Затем ученики по очереди увеличивали или уменьшали на единицу либо коэффициент при x, либо свободный член (но не оба сразу). В результате получился трехчлен x²+20x+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?
2. На боковых сторонах АВ и СD трапеции ABCD, как на диаметрах, построили окружности. О – точка пересечения диагоналей трапеции. Докажите, что отрезки касательных, проведенных из точки О к этим окружностям, равны.
3. Пусть f(x) – нечетная и возрастающая функция. Докажите, что если a + b + c = 0, то f(a)f(b) + f(b)f(c) + f(c)f(a) £0
4. В треугольнике АВС провели медиану AD. Оказалось, что сумма углов DAC и ABC равна 90° Найдите величину угла BAC, если сторона АВ не равна стороне АС.
5. По кругу записали 99 ненулевых цифр. Последовательно прочитав эти цифры, начиная с некоторой и двигаясь по часовой стрелке, получили 99-значное число, делящееся на 81. Докажите, что с какого бы места не начали считывать цифры, получится 99-значное число, кратное 81.
6. Можно ли расположить пять деревянных кубов в пространстве так, чтобы каждый имел общую часть грани с каждым? (Общая часть должна быть многоугольником.)
7. На конгресс собрались ученые, среди которых есть друзья. Оказалось, что любые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдется ученый, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.
8. Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо 10 человек, либо 11. На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

Лига 11А
(PS-файл)

1. В клетках таблицы nxn первоначально стоят нули. Разрешается прибавить единицу к n клеткам, стоящим в попарно различных строках и попарно различных столбцах. Докажите, что такими операциями можно получить любую таблицу, в которой все числа – целые неотрицательные и все суммы чисел по строкам и столбцам равны.
2. В пространстве даны два тетраэдра. Известно, что их проекции на любую плоскость являются многоугольниками с одинаковым числом вершин. Докажите, что тетраэдры гомотетичны.
3. Дана последовательность x_n: x₁=2, x_n+1=(2+x_n)/(1-2x_n), n=1,2,... Докажите, что она непериодическая.
4. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что числа 1, 2, ..., 3n можно разбить на n групп по три числа, в каждой из которых одно равно сумме двух других.
5. Конструктор состоит из прямоугольных деталей, уложенных в один слой в прямоугольную коробку. В бракованном наборе у каждой детали одно из двух горизонтальных измерений оказалось немного меньше стандартного. Верно ли, что у коробки также можно уменьшить одно горизонтальное измерение и при этом детали по-прежнему можно будет уложить в нее в один слой?
6. Найдите все натуральные k, при которых выражение sin kx sin^kx+coskx cos^kx-cos^k2x принимает при всех x одно и то же значение.
7. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а точки A', B', C' симметричны A, B, C относительно противоположных сторон треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников OAA', OBB', OCC', имеют, помимо O, еще одну общую точку.
8. Пусть S(d) – сумма цифр числа d. Докажите, что при бесконечно многих n уравнение x+S(x)+S(S(x))=n имеет по крайней мере три решения.

Лига 11Б
(doc-файл)

1. Два игрока по очереди заменяют по одной звездочке в выражении *n⁸*n⁷*n⁶*...*n²*n знаками + или –. Второй игрок выигрывает, если полученное выражение будет кратно 6 при всех целых значениях n, первый – в противном случае. Кто выигрывает при правильной игре?
2. Решите уравнение x²+x=11...1122...22 (всего 2005 единиц и 2005 двоек).
3. На плоскости расположены два правильных n-угольника А₁А₂...A_n и В₁В₂...В_n, имеющие одно и то же направление обхода вершин. Докажите, что если А₁ и В₁ совпадают (остальные вершины различны), то прямые A_kB_k, k = 2, 3, ..., n пересекаются в одной точке.
4. Докажите, что ни при каком a > 0 не существует многочлена Р(х) степени 998 такого, что (Р(х))² - а = Р(х² +1).
5. Последовательность {x_n} состоит из 0 и 1. Известно, что любая ее подпоследовательность с номерами, образующими арифметическую прогрессию, у которой первый член и разность взаимно простые натуральные числа большие 1, начиная с некоторого номера периодическая. Верно ли, что последовательность {x_n}, начиная с некоторого номера периодическая?
6. Внутри треугольной пирамиды АВСD расположена точка О так, что прямые АО, ВО, СО, DO пересекают грани ВСD, АСD, АВD, АВС в точках А₁, В₁, С₁, D₁ соответственно, причем отношения AO:A₁O, BO:B₁O, CO:C₁O, DO:D₁O равны одному и тому же числу. Найдите все значения, которые может принимать это число.
7. На плоскости находятся 2005 прожекторов, каждый из которых освещает все точки плоскости, лежащие внутри параболы. Можно ли так расположить прожектора, чтобы были освещены все точки плоскости?
8. Докажите, что для любых положительных а, b и с таких, что abc = 1, выполняется неравенство 1/sqrt{a+1/b+1/2}+1/sqrt{b+1/c+1/2}+1/sqrt{c+1/a+1/2}>=sqrt{2}.